1. 1333. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: $y=x^2-6x+5$, $y=2x-7$.
Ответ: $32/3$
2. 1334. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: $y=x^2-2x-1$, $y=1-x$.
Ответ: $4{,}5$
3. 1335. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: $y=-x^2+2x$, $y=x-2$.
Ответ: $4{,}5$
4. 1336. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: $y=-x^2-2x+3$, $y=-2x-1$.
Ответ: $32/3$
5. 1337. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: $y=-x^2-2x+8$, $y=8-4x$.
Ответ: $4/3$
6. 1338. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами $y=x^2$, $\displaystyle y=\frac14x^2$ и прямыми $y=1$, $y=24-5x$. Сделать чертеж.
7. 1339. Вычислить: $\displaystyle\int_4^9\frac{\sqrt x\,dx}{\sqrt x-1}$.
Ответ: $7+\ln 4$.
8. 1340. Вычислить: $\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt x\,dx}{1+x}$
Ответ: $2-\pi/2$
9. 1341. Вычислить: $\displaystyle\int_3^8\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x}}$.
Ответ: $32/3$
10. 1342. Вычислить: $\displaystyle\int_0^1\frac{x\,dx}{1+\sqrt x}$.
Ответ: $5/3-\ln4$.
11. 1343. Вычислить: $\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt{e^x}}{\sqrt{e^x+e^{-x}}}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle\ln\frac{e+\sqrt{1+e^2}}{1+\sqrt2}$
12. 1344. Найти среднее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{e^{1/x}}{x^2}$ на отрезке $[1,4]$.
Ответ: $\displaystyle \frac{e-e^{1/4}}{3}$
13. 1345. Вычислить: $\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\,dx$.
Ответ: $2-\pi/2$
14. 1346. Найти среднее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{2}{e^x+1}$ на отрезке $[0,2]$.
Ответ: $2+\ln\frac{2}{e^2+1}$.
15. 1347. Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(-2, 2, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.
Ответ: $A'(1, -1, 3)$
16. 1348. Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(1, -1, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.
Ответ: $(4, 2, 3)$
17. 1349. Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(4, 2, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.
Ответ: $(1, 5, 3)$
18. 1350. Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(1, 5, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.
Ответ: $(-2, 2, 3)$
19. 1351. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\log_2 x$, $y=2^x$ и прямыми $x+y=1$ и $y=2$. Сделать чертёж.
Решение. Указание. Искомая площадь выражается интегралом $\displaystyle \int_0^1(2^x+x-1)\,dx+\int_1^4(2-\log_2 x)\,dx$.
Ответ: $\displaystyle \frac{8-5\ln 2}{\ln 4}$.
20. 1352. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{9^x-2\cdot3^{x+1}+4}{3^x-5}+\frac{2\cdot3^{x+1}-51}{3^x-9}\leqslant 3^x+5$
Ответ: $x\in(-\infty,1]\cup(\log_35,2)$.
21. 1353. Решить уравнение: $(2+3i)x-(1+5i)=12i-7$.
Ответ: $3+4i$
22. 1354. Решить уравнение: $\displaystyle \frac{11i+23}{x}-6i+5=i+6$.
Ответ: $2-3i$
23. 1355. Вычислить: $(1+i\sqrt3)^{12}$.
Ответ: 4096
24. 1356. Вычислить: $(i-1)^{6}$.
Ответ: $8i$
25. 1357. Вычислить: $\sqrt[6]{-64}$.
Ответ: $\sqrt3\pm i$, $-\sqrt3\pm i$, $\pm 2i$
26. 1358. Найти все (включая комплексные) корни многочлена $x^3-x^2+8x+10$.
Ответ: $-1$, $1\pm3i$
27. 1359. Число $2+i$ является корнем уравнения $x^5-11x^4+64x^3-184x^2+255x=125$. Найти остальные корни.
Ответ: $1$, $3\pm4i$, $2-i$
28. 1360. Решить уравнение $x^8-80x^4-81=0$.
Ответ: $\pm3$, $\pm3i$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\pm\frac{i}{\sqrt2}$, $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}\pm\frac{i}{\sqrt2}$
29. 1361. Решить уравнение $x^6-56x^3=512$.
Ответ: $-2$, $4$, $1\pm\sqrt3 i$, $-2\pm2\sqrt3 i$
30. 1362. Решить систему уравнений $$\left\{\begin{aligned} &y^2+(4i-10)y=20i-25, \\ &x-y=2i. \end{aligned}\right.$$
Ответ: $(5-2i,~5-4i)$, $(5+2i,~5)$