1. 1393. Найти все (включая комплексные) корни уравнения $x^3-9x^2+24x+34=0$.

Ответ: $-1$, $5\pm3i$

2. 1394. Найти общее решение уравнения $\displaystyle y'=\frac{y}{2x}$.

Ответ: $y=C\sqrt{x}$

3. 1395. Найти частное решение уравнения $\displaystyle y'=2x\cos^2 y$, удовлетворяющее условию $y(0)=\pi/4$.

Ответ: $y=\arctg(x^2+1)$

4. 1396. Найти общее решение уравнения $\displaystyle y'=\frac{1+y^2}{2x}$.

Ответ: $y=\tg\ln C\sqrt{x}$

5. 1397. Найти частное решение уравнения $\displaystyle y'=\frac{1}{3xy^2}$, удовлетворяющее условию $y(e^2)=1$.

Ответ: $y^3+1=\ln x$

6. 1398. Найти общее решение уравнения $\displaystyle y'=\cos2x\sqrt{4-y^2}$.

Ответ: $y=2\sin(\frac{1}{2}\sin2x+C)$

7. 1399. Найти частное решение уравнения $\displaystyle y'=-2\sin x\sqrt{y}$, удовлетворяющее условию $y(\pi/2)=1$

Ответ: $y=(\cos x+1)^2$

8. 1400. Найти частное решение уравнения $x^2y'=xy+y^2$, удовлетворяющее условию $y(e)=-e$.

Ответ: $y=-x/\ln x$

9. 1401. Найти общее решение уравнения $x^2y'=x^2+xy+y^2$.

Ответ: $y=x\tg\ln Cx$

10. 1402. Найти общее решение уравнения $\displaystyle xy'=y+x\cos^2\frac{y}{x}$.

Ответ: $y=x\,\text{arctg}\,\ln x$

11. 1403. Найти общее решение уравнения $xy'=\sqrt{x^2-y^2}+y$.

Ответ: $y=x\sin\ln Cx$

12. 1404. Найти частное решение уравнения $xy'=x+y$, удовлетворяющее условию $y(1)=0$.

Ответ: $y=x\ln x$

13. 1405. Найти частное решение уравнения $\displaystyle xy'=xe^{-y/x}+y$, удовлетворяющее условию $y(e)=0$.

Ответ: $y=x\ln\ln x$

14. 1406. Найти линию, проходящую через точку $(2,0)$ и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум.

Ответ: $\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}+2\ln\left|\frac{2-\sqrt{4-x^2}}{x}\right|$

15. 1407. Найти все линии, у которых подкасательная пропорциональна абсциссе точки касания (с коэффициентом пропорциональности $k$). (Подкасательная — отрезок на оси абсцисс, заключенный между абсциссой точки касания и абсциссой точки пересечения касательной с осью абсцисс).

Ответ: $y^k=Cx$

16. 1408. Найти линию, проходящую через точку $(a,1)$ и имеющую постоянную подкасательную, равную $a$. (Подкасательная — отрезок на оси абсцисс, заключенный между абсциссой точки касания и абсциссой точки пересечения касательной с осью абсцисс).

Ответ: $\displaystyle y=\exp\frac{x-a}{a}$

17. 1409. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

Ответ: $y^2=Cx$

18. 1410. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.

Ответ: $x^2=C(2y+C)$

19. 1411. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания. (Подкасательная — отрезок на оси абсцисс, заключенный между абсциссой точки касания и абсциссой точки пересечения касательной с осью абсцисс).

Ответ: $y^2=2px$

20. 1412. Найти общее решение уравнения $x^2y'+2xy-1=0$.

Ответ: $y=\frac{C+x}{x^2}$

21. 1413. Найти общее решение уравнения $y'-7y=8e^{3x}$.

Ответ: $y=Ce^{7x}-2e^{3x}$

22. 1414. Найти общее решение уравнения $(x^2+1)y'-xy=x^3+x$.

Ответ: $y=C\sqrt{x^2+1}+x^2+1$

23. 1415. Найти общее решение уравнения $y'\cos x-y\sin x=\cos^2 x$.

Ответ: $\displaystyle y=\frac{1}{\cos x}\left(C+\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}\right)$

24. 1416. Найти общее решение уравнения $xy'\ln x=5x-y$.

Ответ: $\displaystyle y=\frac{C+5x}{\ln x}$

25. 1417. Найти общее решение уравнения $y'\cos^2 x+y=\text{tg}\,x$.

Ответ: $y=Ce^{-\text{tg}\,x}+\text{tg}\, x-1$

26. 1418. Найти общее решение уравнения $y''-6y'+10y=(10x-3)e^x$.

Ответ: $y=e^{3x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+(2x+1)e^x$

27. 1419. Найти общее решение уравнения $y''+3y'-10y=7e^{2x}$.

Ответ: $y=C_1e^{2x}+C_2e^{-5x}+(x-1)e^{2x}$

28. 1420. Найти общее решение уравнения $y''-8y'+16y=2e^{4x}$.

Ответ: $y=e^{4x}(C_1+C_2x+x^2)$

29. 1421. Найти общее решение уравнения $y''-6y'+25y=(40x+25)e^x$.

Ответ: $y=e^{3x}(C_1\cos 4x+C_2\sin 4x)+(2x+3)e^x$

30. 1422. Найти общее решение уравнения $y''-2y'-3y=-4e^{-x}$.

Ответ: $y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}+xe^{-x}$