1. 16. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{\sin2x-2\cos x}{\cos2x+2\sin x+3}dx$.
Решение. $\displaystyle\int\frac{\sin2x-2\cos x}{\cos2x+2\sin x+3}dx=\int\frac{2\sin x\cos x-2\cos x}{1-2\sin^2x+2\sin x+3}=\int\frac{(1-\sin x)\cos x}{\sin^2 x-\sin x-2}\,dx=\ldots$
Замена $t=\sin x$, тогда $dt=\cos x\,dx$.
$\displaystyle\ldots=\int\frac{1-t}{t^2-t-2}\,dt=\frac13\int\left(-\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-2}\right)dt=-\frac23\ln|t+1|-\frac13\ln|t-2|=-\frac23\ln|\sin x+1|-\frac13\ln|\sin x-2|+C$.
Ответ: $\displaystyle-\frac23\ln|\sin x+1|-\frac13\ln|\sin x-2|+C$
2. 17. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{7\sin2x-22\cos x}{\cos 2x+6\sin x-5}dx$.
3. 18. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{5\sin2x-14\cos x}{\cos 2x+8\sin x+9}dx$.
4. 19. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sin2x+\cos x}{\cos2x+4\sin x+15}dx$.
5. 20. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4\sin2x-7\cos x}{\cos 2x+2\sin x+3}dx$.
6. 21. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{7\sin2x-46\cos x}{\cos2x+14\sin x-21}dx$.
7. 22. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sin 2x-6\cos x}{\cos2x+8\sin x+23}dx$.
8. 1221. Найти интеграл: $\int\sin^3 x\,dx$.
9. 1222. Найти интеграл: $\int\sin^3 x\,\sqrt[3]{\cos x}\,dx$.
10. 1223. Найти интеграл: $\displaystyle\int\sin^2\frac{x}{2}\,dx$
11. 1224. Найти интеграл: $\int\sin^2 x\cos^4 x\,dx$.
12. 1225. Найти интеграл: $\int\sin^4x\,dx$.
13. 1226. Найти интеграл: $\int\text{tg}\,x\cdot\sin^2x\,dx$.
14. 1227. Найти интеграл: $\int\text{tg}^3\,x\,dx$.
15. 1228. Найти интеграл: $\int \sin2x\cos3x\,dx$.
16. 1229. Найти интеграл: $\displaystyle\int\cos\frac x2\cos\left(\frac{3x}{2}+1\right)\,dx$.
17. 1230. Найти интеграл: $\int\sin x\sin 2x\sin 3x\,dx$
18. 1231. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x}$
Ответ: $\displaystyle\ln\left|\text{tg}\,\frac{x}{2}\right|+C$.
19. 1232. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{dx}{2+\sin x}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{2}{\sqrt3}\,\text{arctg}\,\frac{2\,\text{tg}\,\frac{x}{2}+1}{\sqrt3}+C$
20. 5523. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle \frac25\cos^{\frac52} x-2\sqrt{\cos x}+C$
21. 5524. Найти интеграл: $\displaystyle \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle \cos x+\frac{1}{\cos x}+C$