1. 1818. Найти все такие значения переменной $x$, при которых значения выражений $$(1-2x)(4x^2+2x+1)-16x^2$$ и $$(2-2x)(4+4x)(x+2)$$ равны.

Ответ: $-1\frac78$

2. 1819. Найти все такие значения переменной $x$, при которых значения выражений $$(1+2x)(4x^2-2x+1)-16x^2$$ и $$(2x-4)(2x-2)(2+2x)$$ равны.

Ответ: $1\frac78$

3. 1820. Найти все такие значения переменной $x$, при которых значения выражений $(x-2)(x^2+2x+4)-2x^2$ и $(x-1)(1+x)(x-2)$ равны.

Ответ: 10.

4. 1821. Упростить выражение: $$(a-b)(a^2+ab+b^2)+b(a-b)^2-a(a-b)(a+2b).$$

Ответ: 0

5. 1822. Упростить выражение: $$a(a-b)(a+b)+(a-b)(a^2+ab+b^2)-b^2(a-b).$$

Ответ: $2a^3-2ab^2$

6. 1823. Угадав корень многочлена $x^3+5x^2+3x-9$ и выполнив подходящее деление «столбиком», разложите многочлен на множители.

Ответ: $(x-1)(x+3)^2$

7. 1824. Угадав корень многочлена $x^3-7x^2+8x+16$ и выполнив подходящее деление «столбиком», разложите многочлен на множители.

Ответ: $(x-4)^2(x+1)$

8. 1825. Угадав корень многочлена $4x^3-8x^2+5x-1$ и выполнив подходящее деление «столбиком», разложите многочлен на множители.

Ответ: $(x-1)(2x-1)^2$

9. 1826. На отрезке $MN$, равном 8 дм, лежат точки $A$ и $B$ по разные стороны от середины $C$ отрезка $MN$, причем $CA=7$ см, $CB=0{,}24$ м. Найти длины отрезков $AN$ и $BN$.

Ответ: 4,7 и 1,6 либо 3,3 и 6,4.

10. 1827. Точка $M$ — середина отрезка $EF$, длина которого равна $1{,}2$ м. От точки $M$, по разные стороны от нее, отложены два отрезка: $MP=1{,}6$ дм и $MQ=40$ см. Найти длины отрезков $EP$ и $QF$.

Ответ: 44 и 20 либо 76 и 100.

11. 1828. $\angle AOB=80^{\circ}$. Луч $OC$ делит этот угол на два угла так, что $\angle AOC=4\angle COB$. 1) Найти эти углы. 2) Найти угол $DOB$, если луч $OD$ проведён так, что $OA$ — биссектриса угла $DOB$.

Ответ: 1) 16, 64. 2) 160, тупым.

12. 1829. $\angle AOB=100^{\circ}$. Луч $OE$ делит этот угол на два угла так, что $\angle BOE=3\angle AOE$. 1) Найти эти углы. 2) Найти угол $AOF$, если луч $OF$ проведён так, что $OE$ — биссектриса угла $FOB$.

Ответ: 1) 25, 75, 2) 50, острым.

13. 1830. Длина отрезка $AB$ равна 14 см. Найти на прямой $AB$ все такие точки $D$, для которых $DA=3\cdot DB$.

Ответ: Точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$, $DB=3{,}5$ или точка $B$ лежит между точками $A$ и $D$, $DB=7$.

14. 1831. Длина отрезка $AB$ равна 12 см. Найти на прямой $AB$ все такие точки $M$, для которых $MA=2\cdot MB$.

Ответ: Точка $M$ лежит между точками $A$ и $B$, $MB=4$ или точка $B$ лежит между точками $A$ и $M$, $MB=12$.

15. 1832. Прямой угол разделен лучом, исходящим из его вершины, на два угла, такие, что половина одного угла равна трети другого. Найти эти углы.

Ответ: 36, 54

16. 1833. Прямой угол разделен лучом, исходящим из его вершины, на два угла, один из которых в пять раз больше другого. Найти эти углы.

Ответ: 15, 75

17. 1834. При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов в 8 раз меньше суммы остальных углов. Найти величину каждого из этих углов.

18. 1835. При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов равен $2/7$ суммы остальных углов. Найти величину каждого из этих углов.

19. 1836. В деревне $A$ живёт 50 школьников, в деревне $B$ — 100 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра. В какой точке дороги из $A$ в $B$ надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?

Ответ: В деревне B.

20. 1837. Решить систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} &10x+10y=2y-4x-9, \\ &3x+y=x-2y-5. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\displaystyle\left(\frac12;~-2\right)$

21. 1838. Решить систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} &13x+5y=3x-y-9, \\ &x-6y+11=2y-x. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\displaystyle\left(-\frac32;~1\right)$

22. 1839. Решить систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} &4x-y=y-2x+13, \\ &x+16y+3=2y-x. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\displaystyle\left(2;~-\frac12\right)$

23. 1840. Решить систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} &10x+y-5=2x-y, \\ &14x-3y=9x-y+8. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $\displaystyle\left(1;~-\frac32\right)$

24. 1841. Построить график уравнения $2x^2+xy+3y+6x=0$, разложив его левую часть на множители.

Ответ: $y=-2x$, $x=-3$

25. 1842. Построить график уравнения $y^2+xy+5y+5x=0$, разложив его левую часть на множители.

Ответ: $y=-x$, $y=-5$

26. 1843. Построить график уравнения $2xy+4y-x^2-2x=0$, разложив его левую часть на множители.

Ответ: $y=x/2$, $x=-2$

27. 1844. Построить график уравнения $y^2-xy-4y+4x=0$, разложив его левую часть на множители.

Ответ: $y=x$, $y=4$

28. 1845. Угадав корень многочлена $4x^3-8x^2-3x+9$ и выполнив подходящее деление «столбиком», разложите многочлен на множители.

Ответ: $(x+1)(2x-3)^2$

29. 1846. Угадав корень многочлена $9x^3+3x^2-5x+1$ и выполнив подходящее деление «столбиком», разложите многочлен на множители.

Ответ: $(x+1)(3x-1)^2$

30. 1847. Угадав корень многочлена $4x^3+16x^2+5x-25$ и выполнив подходящее деление «столбиком», разложите многочлен на множители.

Ответ: $(x-1)(2x+5)^2$