1. 1. Решить уравнение: $\cos 2x+\cos x=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=\pi+2\pi k$, $n, k\in\mathbb{Z}$.
2. 2. Решить уравнение: $\cos 2x+3\cos x+2=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=\pi+2\pi k$
3. 3. Решить уравнение: $\cos 2x-\cos x=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi k$
4. 4. Решить уравнение: $\cos 2x-3\cos x+2=0$.
Ответ: $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $x=2\pi k$
5. 5. Решить уравнение: $\cos 2x+3\sin x-2=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$
6. 6. Решить уравнение: $\cos 2x+\sin x=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n$, $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$
7. 7. Решить уравнение: $\cos 2x-3\sin x-2=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$
8. 8. Решить уравнение: $\cos 2x-\sin x=0$.
Ответ: $x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$
9. 9. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}$
Решение. Разложив знаменатель на множители, получим: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\frac{(5x-9)\,dx}{(x+3)(x-5)}$.
Будем искать разложение подынтегральной функции на простейшие дроби в виде $\displaystyle\frac{5x-9}{(x+3)(x-5)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+3)}{(x+3)(x-5)}=\frac{Ax-5A+Bx+3B}{(x+3)(x-5)}=\frac{(A+B)x-(5A-3B)}{(x+3)(x-5)}$, то есть $A+B=5$ и $5A-3B=9$, откуда $A=3$ и $B=2$.
Окончательно имеем: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\left(\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-5}\right)=3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C.$
Ответ: $3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C$
10. 10. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{5x+22}{x^2+9x+20}dx$.
Ответ: $3\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x+4\right|$
11. 11. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{6x-2}{x^2+2x-15}dx$.
Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x-3\right|$
12. 12. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{2x+14}{x^2-2x-3}dx$.
Ответ: $5\,\log \left|x-3\right|-3\,\log \left|x+1\right|$
13. 13. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{7x+17}{x^2+5x+6}dx$.
Ответ: $4\,\log \left|x+3\right|+3\,\log \left|x+2\right|$
14. 14. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{9x+13}{x^2+2x-15}dx$.
Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+5\,\log \left|x-3\right|$
15. 15. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{13x+10}{x^2+x-12}dx$.
Ответ: $6\,\log \left|x+4\right|+7\,\log \left|x-3\right|$
16. 16. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{\sin2x-2\cos x}{\cos2x+2\sin x+3}dx$.
Решение. $\displaystyle\int\frac{\sin2x-2\cos x}{\cos2x+2\sin x+3}dx=\int\frac{2\sin x\cos x-2\cos x}{1-2\sin^2x+2\sin x+3}=\int\frac{(1-\sin x)\cos x}{\sin^2 x-\sin x-2}\,dx=\ldots$
Замена $t=\sin x$, тогда $dt=\cos x\,dx$.
$\displaystyle\ldots=\int\frac{1-t}{t^2-t-2}\,dt=\frac13\int\left(-\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t-2}\right)dt=-\frac23\ln|t+1|-\frac13\ln|t-2|=-\frac23\ln|\sin x+1|-\frac13\ln|\sin x-2|+C$.
Ответ: $\displaystyle-\frac23\ln|\sin x+1|-\frac13\ln|\sin x-2|+C$
17. 17. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{7\sin2x-22\cos x}{\cos 2x+6\sin x-5}dx$.
18. 18. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{5\sin2x-14\cos x}{\cos 2x+8\sin x+9}dx$.
19. 19. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sin2x+\cos x}{\cos2x+4\sin x+15}dx$.
20. 20. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4\sin2x-7\cos x}{\cos 2x+2\sin x+3}dx$.
21. 21. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{7\sin2x-46\cos x}{\cos2x+14\sin x-21}dx$.
22. 22. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sin 2x-6\cos x}{\cos2x+8\sin x+23}dx$.
23. 23. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{(6x-25)\,dx}{x^2-6x+11}$.
Решение. $\displaystyle\int\frac{(6x-25)\,dx}{x^2-6x+11}=\int\frac{3(2x-6)-7}{x^2-6x+11}=
3\int\frac{(2x-6)\,dx}{x^2-6x+11}-7\int\frac{dx}{(x-3)^2+2}=$
$\displaystyle=3\ln(x^2-6x+11)-\frac{7}{\sqrt2}\textrm{arctg}\frac{x-3}{\sqrt2}+C.$
Ответ: $\displaystyle3\ln(x^2-6x+11)-\frac{7}{\sqrt2}\textrm{arctg}\frac{x-3}{\sqrt2}+C$
24. 24. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{(6x-11)\,dx}{\sqrt{6x-x^2-5}}$.
Решение. $\displaystyle\int\frac{(6x-11)\,dx}{\sqrt{6x-x^2-5}}=\int\frac{-3(6-2x)+7}{\sqrt{6x-x^2-5}}dx= -3\int\frac{6-2x}{\sqrt{6x-x^2-5}}+7\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x-3)^2}}=-6\sqrt{6x-x^2-5}+7\arcsin\frac{x-3}{2}+C$.
Ответ: $\displaystyle-6\sqrt{6x-x^2-5}+7\arcsin\frac{x-3}{2}+C$
25. 25. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{6x+17}{x^2+4x+5}dx$.
Ответ: $3\,\ln \left(x^2+4\,x+5\right)+5\,\text{arctg}\, \left(x+2\right)$
26. 26. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4x-1}{\sqrt{3-x^2-2x}}dx$.
Ответ: $\displaystyle-5\arcsin\frac{x+1}{2}-4\sqrt{-x^2-2\,x+3}+C$
27. 27. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4x+9}{x^2+2x+5}dx$.
Ответ: $\displaystyle2\,\ln\left(x^2+2x+5\right)+\frac52\,\text{arctg}\,\frac{x+1}{2}+C$
28. 28. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{6x+11}{\sqrt{7-x^2-6x}}dx$.
Ответ: $\displaystyle-7\,\arcsin\frac{x+3}{4}-6\,\sqrt{-x^2-6\,x+7}$
29. 29. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4x-11}{x^2-2x+10}dx$.
Ответ: $\displaystyle2\,\ln \left(x^2-2\,x+10\right)-\frac73\,\text{arctg}\,\frac{x-1}{3}+C$
30. 30. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4x+15}{\sqrt{5-x^2-4x}}dx$.
Ответ: $\displaystyle-4\sqrt{-x^2-4\,x+5}+7\,\arcsin\frac{x+2}{3}+C$