1. 2001. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол $120^{\circ}$. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найти углы трапеции.

Ответ: $40^{\circ}$, $140^{\circ}$.

2. 2002. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол $114^{\circ}$. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найти углы трапеции.

Ответ: $136^{\circ}$, $44^{\circ}$

3. 2003. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по $60^{\circ}$. Найти отношение оснований.

Ответ: $1:2$

4. 2004. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны. Найти отношение оснований.

Ответ: $1:2$

5. 2005. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между основаниями трапеции (т.е. высота трапеции) равно полусумме оснований.
Указание. Из точки пересечения диагоналей трапеции опустите перпендикуляры на верхнее и нижнее основание.

6. 2006. В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность, то есть внутри трапеции существует точка $O$ (центр окружности), равноудалённая от прямых, содержащих стороны трапеции. Доказать, что $AB+CD=BC+AD$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.

7. 2007. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии. (Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям).
Указание. В треугольнике, образованном биссектрисами и боковой стороной, проведите медиану к боковой стороне.

8. 2008. Основания трапеции равны 10 и 4. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Указание. Продлите искомый отрезок до пересечения с одной из боковых сторон и воспользуйтесь свойством средней линии треугольника: отрезок, соединяющий в треугольнике середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Ответ: 3

9. 2009. Основания трапеции равны 9 и 5. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Указание. Продлите искомый отрезок до пересечения с одной из боковых сторон и воспользуйтесь свойством средней линии треугольника: отрезок, соединяющий в треугольнике середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Ответ: 2

10. 2010. Сумма длин оснований трапеции равна 10, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найти основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Ответ: 8, 2, 3.

11. 2011. Сумма длин оснований трапеции равна 12, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 5. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найти основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Ответ: 11, 1, 5.

12. 3635. Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}5$ раза больше меньшего основания и на 9 меньше большего основания трапеции.

Ответ: 27 (основания 18 и 36)

13. 3636. Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}25$ раза больше меньшего основания и на 6 меньше большего основания трапеции.

Ответ: 30 (основания 24 и 36)

14. 3637. Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}5$ раза больше меньшего основания и на 12 меньше большего основания трапеции.

Ответ: 36 (основания 24 и 48).

15. 3638. Найти среднюю линию трапеции, если известно, что она в $1{,}25$ раза больше меньшего основания и на 5 меньше большего основания трапеции.

Ответ: 25 (основания 20 и 30)

16. 3639. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 5 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.

Ответ: $3:2$

17. 3640. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 4 раза длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.

Ответ: $5:3$

18. 3641. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 6 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.

Ответ: $7:5$

19. 3642. Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.

Ответ: $3:1$

20. 3643. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна большему основанию $AD$.
а) Доказать, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$ трапеции.
б) Найти углы $A$ и $C$ трапеции, еcли $\angle BDA=57{,}5^{\circ}$, $\angle BDC=22{,}5^{\circ}$.

Ответ: $65^{\circ}$, $100^{\circ}$

21. 3644. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна большему основанию $AD$.
а) Доказать, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$ трапеции.
б) Найти углы $A$ и $C$ трапеции, еcли $\angle BDA=50^{\circ}$, $\angle BDC=18^{\circ}$.

Ответ: $80^{\circ}$, $112^{\circ}$

22. 3645. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна большему основанию $AD$.
а) Доказать, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$ трапеции.
б) Найти углы $A$ и $C$ трапеции, еcли $\angle BDA=67{,}5^{\circ}$, $\angle BDC=30^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$; $82{,}5^{\circ}$

23. 3646. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна большему основанию $AD$.
а) Доказать, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$ трапеции.
б) Найти углы $A$ и $C$ трапеции, еcли $\angle BDA=65^{\circ}$, $\angle BDC=15^{\circ}$.

Ответ: $50^{\circ}$; $100^{\circ}$

24. 3647. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и делит угол $BAD$ пополам. Найти большее основание $AD$ трапеции, если её периметр равен 35, а $\angle ADC=60^{\circ}$.

Ответ: 14

25. 3648. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и делит угол $BAD$ пополам. Найти большее основание $AD$ трапеции, если её периметр равен 45, а $\angle ADC=60^{\circ}$.

Ответ: 18

26. 3649. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и делит угол $BAD$ пополам. Найти большее основание $AD$ трапеции, если её периметр равен 30, а $\angle ADC=60^{\circ}$.

Ответ: 12

27. 3650. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и делит угол $BAD$ пополам. Найти большее основание $AD$ трапеции, если её периметр равен 40, а $\angle ADC=60^{\circ}$.

Ответ: 16

28. 3654. Внутри прямоугольного треугольника взяты две точки: одна удалена от его катетов и гипотенузы на расстояния 1, 8 и $2{,}6$ соответственно, а другая — на расстояния $2{,}5$, $6$ и $3{,}3$ (от тех же сторон, в том же порядке). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Ответ: 4

29. 3655. Внутри прямоугольного треугольника взяты две точки: одна удалена от его катетов и гипотенузы на расстояния 1, 9 и $1{,}8$ соответственно, а другая — на расстояния $2{,}5$, $6{,}5$ и $2{,}9$ (от тех же сторон, в том же порядке). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Ответ: 4

30. 3656. Внутри прямоугольного треугольника взяты две точки: одна удалена от его катетов и гипотенузы на расстояния 2, 10 и $0{,}4$ соответственно, а другая — на расстояния $3$, $7$ и $2{,}2$ (от тех же сторон, в том же порядке). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Ответ: 4