1. 228. Найти корни многочлена $6x^4-31x^3+36x^2-15x+2$, если известно, что $2+\sqrt3$ — один из его корней.
Решение. Если число $2+\sqrt3$ — один из корней данного многочлена, то и сопряженное число $2-\sqrt3$ также является его корнем. Найдем квадратный трехчлен с корнями $2\pm\sqrt3$: $(x-(2+\sqrt3))(x-(2-\sqrt3))=((x-2)-\sqrt3))((x-2)+\sqrt3))=(x-2)^2-3=x^2-4x+1$. Разделив (уголком) данный многочлен на $x^2-4x+1$ (проделайте это самостоятельно), получим квадратный трехчлен $6x^2-7x+2$, корни которого — $\displaystyle\frac12$ и $\displaystyle\frac23$.
Ответ: $\displaystyle\frac12$, $\displaystyle\frac23$
2. 229. Число $1+\sqrt5$ является корнем многочлена $12x^4-23x^3-51x^2-2x+4$. Найти три других корня.
Ответ: $1-\sqrt5$, $\displaystyle-\frac13$, $\displaystyle\frac14$
3. 236. Число $1+\sqrt2$ является корнем многочлена $6x^4-17x^3+5x^2+3x-1$. Найти три других его корня.
Ответ: $1-\sqrt2$, $\displaystyle\frac12$, $\displaystyle\frac13$
4. 240. Число $1+\sqrt3$ является корнем многочлена $6x^4-13x^3-12x^2+6x+4$. Найти три других его корня.
Ответ: $1-\sqrt3$, $-\displaystyle\frac12$, $\displaystyle\frac23$
5. 2272. Решить уравнение: $x^3-2x^2-5x+6=0$.
Ответ: $-2$; 1; 3.
6. 2273. Решить уравнение: $x^3-2x^2-11x+12=0$.
Ответ: $-3$; 1; 4.
7. 2537. Решить уравнение: $x^3+7x^2-21x-27=0$.
8. 2538. Решить уравнение: $x^3+8x^2+5x-14=0$.
Ответ: $-7$; $-2$; 1.
9. 2539. Решить уравнение: $x^6-x^5+x^4+7x^3-8x^2+8x-8=0$.
Ответ: $-2$; 1.
10. 2540. Решить уравнение: $x^6+x^5+3x^4-5x^3-8x^2-24x-24=0$.
Ответ: $-1$; 2.
11. 2590. Угадав один из корней и выполнив подходящее деление «столбиком», решить уравнение: $x^3-12x^2+9x+22=0$.
Ответ: $-1$; 2; 11.
12. 2591. Угадав один из корней и выполнив подходящее деление «столбиком», решить уравнение: $x^3-8x^2+13x-6=0$.
Ответ: 1; 6
13. 2592. Угадав один из корней и выполнив подходящее деление «столбиком», решить уравнение: $x^3-9x^2-66x-56=0$.
Ответ: $-4$; $-1$; 14.
14. 2593. Угадав один из корней и выполнив подходящее деление «столбиком», решить уравнение: $x^3-12x^2-15x+26=0$.
Ответ: $-2$; 13; 1.
15. 2594. Угадав один из корней и выполнив подходящее деление «столбиком», решить уравнение: $x^3-11x^2+23x+35=0$.
Ответ: $-1$; 5; 7
16. 2595. Угадав один из корней и выполнив подходящее деление «столбиком», решить уравнение: $x^3-10x^2-61x+70=0$.
Ответ: $-5$; 1; 14.
17. 2596. Решить уравнение: $x^3-3x^2-36x-32=0$.
Ответ: $-1$; $-4$; 8.
18. 3899. Решить уравнение: $6x^4-29x^3-21x^2+46x-12=0$.
Ответ: $-3/2$; $1/3$; $3\pm\sqrt5$
19. 3904. Найти корни многочлена $x^4-6x^3+5x^2+10x+2$, если известно, что число $2-\sqrt5$ является одним из его корней.
Ответ: $2\pm\sqrt5$, $1\pm\sqrt3$
20. 4681. Число $\displaystyle x_1=-\frac12$ является корнем уравнения $2x^3-11x^2+2x+4=0$. Найти два других корня уравнения.
Ответ: $x_{2,3}=3\pm\sqrt5$
21. 4682. Число $\displaystyle x_1=\frac 13$ является корнем уравнения $3x^3-7x^2-4x+2=0$. Найти два других корня уравнения.
Ответ: $x_{2,3}=1\pm\sqrt3$
22. 4683. Число $\displaystyle x_1=-\frac 23$ является корнем уравнения $3x^3+8x^2-2x-4=0$. Найти два других корня уравнения.
Ответ: $x_{2,3}=-1\pm\sqrt3$
23. 4684. Число $\displaystyle x_1=\frac 12$ является корнем уравнения $2x^3-21x^2+54x-22=0$. Найти два других корня уравнения.
Ответ: $x_{2,3}=5\pm\sqrt3$
24. 4685. Число $\displaystyle x_1=-\frac 13$ является корнем уравнения $3x^3-11x^2-x+1=0$. Найти два других корня уравнения.
Ответ: $x_{2,3}=2\pm\sqrt3$
25. 4686. Число $\displaystyle x_1=\frac 23$ является корнем уравнения $3x^3-8x^2-8x+8=0$. Найти два других корня уравнения.
Ответ: $x_{2,3}=1\pm\sqrt5$
26. 4687. Число $x_1=-2$ является корнем уравнения $2x^3+ax^2-11x+6=0$. Найти $a$ и другие корни уравнения.
Ответ: $a=-3$, $x_2=1/2$, $x_3=3$
27. 4688. Число $x_1=-2$ является корнем уравнения $2x^3+ax^2-5x-6=0$. Найти $a$ и другие корни уравнения.
Ответ: $a=3$, $x_2=3/2$, $x_3=-1$
28. 4689. Число $x_1=-3$ является корнем уравнения $2x^3+ax^2-11x-6=0$. Найти $a$ и другие корни уравнения.
Ответ: $a=3$, $x_2=-1/2$, $x_3=2$
29. 4690. Число $x_1=-5$ является корнем уравнения $2x^3+ax^2-23x+10=0$. Найти $a$ и другие корни уравнения.
Ответ: $a=5$, $x_2=1/2$, $x_3=2$
30. 4691. Число $x_1=3$ является корнем уравнения $3x^3+ax^2+13x+6=0$. Найти $a$ и другие корни уравнения.
Ответ: $a=-14$, $x_2=-1/3$, $x_3=2$