1. 2503. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2-ax-2x-2a^2+4a=0$ имеет один корень.
Решение. Корни $2-a$ и $2a$.
Ответ: $a=2/3$
2. 2504. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2-2ax-4x-3a^2+12a=0$ имеет один корень.
Решение. Корни $4-a$ и $3a$
Ответ: $a=1$
3. 2505. Найти все значения параметра a, при которых уравнение $x^2+3ax-3x+2a^2-3a=0$ имеет один корень.
Решение. Корни $3-2a$ и $-a$.
Ответ: $a=3$
4. 2506. Найти все значения параметра a, при которых уравнение $x^2+ax-x-2a^2+a=0$ имеет один корень.
Решение. Корни $1-2a$ и $a$.
Ответ: $a=1/3$
5. 2523. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $ax^2-9a^2x-x+9a=0$ имеет один корень.
Ответ: $a=0$; $a=\pm\frac13$.
6. 2524. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $ax^2+a^2x+4x+4a=0$ имеет один корень.
Ответ: $a=0$; $a=\pm2$.
7. 2758. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2+ax-8x-6a^2+a+15=0$$ имеет ровно один корень.
Решение. Корни $x_1=2a+3$ и $x_2=5-3a$.
Ответ: $a=2/5$.
8. 2759. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2+2ax-8x-10a+15=0$$ имеет ровно один корень.
Решение. Корни $x_1=5$ и $x_2=2a-3$.
Ответ: $a=4$.
9. 2767. Решить уравнение (относительно $x$): $5x^2+(15-6a)x+a^2-3a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $a/5$, $a-3$; при $a=15/4$.
10. 2768. Решить уравнение (относительно $x$): $x^2-7x-a^2+3a+10=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $5-a$, $a+2$; при $a=3/2$.
11. 2787. Решить уравнение (относительно x): $2x^2+(3a-8)x-2a^2+4a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $4-2a$, $a/2$; при $a=8/5$
12. 2788. Решить уравнение (относительно x): $3x^2-(5a+3)x-2a^2+6a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $(3-a)/3$, $2a$; при $a=3/7$
13. 2789. Решить уравнение (относительно x): $x^2-4ax-3x-5a^2+15a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $3-a$, $5a$; при $a=1/2$
14. 2790. Решить уравнение (относительно x): $2x^2+(a-4)x-a^2+2a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $2-a$, $a/2$; при $a=4/3$
15. 2791. Решить уравнение (относительно x): $5x^2+(9a-5)x-2a^2+a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $1-2a$, $a/5$; при $a=5/11$
16. 2792. Решить уравнение (относительно x): $x^2+4ax-2x+3a^2-2a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $2-3a$, $-a$; при $a=1$
17. 2793. Решить уравнение (относительно x): $5x^2+(10-6a)x+a^2-2a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $a-2$, $a/5$; при $a=5/2$
18. 2794. Решить уравнение (относительно x): $3x^2+(12-4a)x+a^2-4a=0$. При каком значении параметра $a$ это уравнение имеет ровно один корень?
Ответ: $a-4$, $a/3$; при $a=6$
19. 2910. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней уравнения $$2x^2+(a-7)x-a^2+2a+3=0$$ на 2 больше другого. Для каждого такого параметра $a$ найти эти корни.
Ответ: $a=3$ (корни 0 и 2), $a=1/3$ (корни $2/3$ и $8/3$)
20. 2911. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней уравнения $$3x^2+(1-7a)x+2a^2-2a=0$$ на 2 больше другого. Для каждого такого параметра $a$ найти эти корни.
Ответ: $a=-7/5$ (корни $-4/5$ и $-14/5$), $a=1$ (корни 0 и 2)
21. 2912. При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2+(2-7a)x+12a^2-9a-3=0$$ наименьшая?
Ответ: $a=1/5$
22. 2913. При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2-(7a+3)x+12a^2+11a+2=0$$ наименьшая?
Ответ: $a=-2/5$
23. 2914. Найти значения параметра $a$, при которых один из корней уравнения $$x^2-9x-a^2+5a+14=0$$ в три раза больше другого. Для каждого такого значения параметра указать корни уравнения.
Ответ: При $a=1/4$ и при $a=19/4$ (корни $9/4$ и $27/4$).
24. 2915. Найти значения параметра $a$, при которых уравнение $$x^4-2x^2-a^2+14a-48=0$$ имеет не более трёх корней.
Ответ: $a\in(-\infty;~6] \cup \{7\} \cup [8;~+\infty)$
25. 2954. Решить уравнение: $5x^2+14ax-3a^2=0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней этого уравнения на $2$ больше другого.
Ответ: $a/5$; $-3a$. При $a=\pm5/8$
26. 2955. Решить уравнение: $3x^2+5ax-2a^2=0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней этого уравнения на $2$ больше другого.
Ответ: $a/3$; $-2a$. При $a=\pm6/7$.
27. 2956. Решить уравнение: $4x^2-13ax+3a^2$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней этого уравнения на $1$ больше другого.
Ответ: $a/4$; $3a$. При $a=\pm4/11$.
28. 2957. Решить уравнение: $4x^2-7ax-2a^2$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней этого уравнения на $1$ больше другого.
Ответ: $-a/4$; $2a$. При $a=\pm4/9$.
29. 2997. Решить уравнение: $7x^2+13ax-2a^2=0$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней этого уравнения на 5 больше другого.
Ответ: $x=-2a$, $x=a/7$. При $a=\pm 7/3$
30. 2998. Решить уравнение: $2x^2+7ax-4a^2$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых один из корней этого уравнения на 2 больше другого.
Ответ: $x=-4a$, $x=a/2$. При $a=\pm 4/9$