1. 2917. («Мельница»). Найти значения параметра $a$, при которых система $$\left\{\begin{aligned} &y+|x-1|=4, \\ &ay^2-a^2xy+xy-ax^2=0. \end{aligned}\right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $a=\pm1$

2. 3025. Решить систему для каждого $a$: $$\left\{\begin{aligned} &x-4y+6=0, \\ &ax-y-2a-1=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: При $\displaystyle a\neq\frac14$: $\displaystyle x=\frac{8a+10}{4a-1}$, $\displaystyle y=\frac{8a+1}{4a-1}$. При $\displaystyle a=\frac14$ система не имеет решений.

3. 3026. Решить систему для каждого $a$: $$\left\{\begin{aligned} &2x+3y=10, \\ &ax-y+a+1=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: При $\displaystyle a\neq-\frac23$: $\displaystyle x=\frac{7-3a}{3a+2}$, $\displaystyle y=\frac{12a+2}{3a+2}$. При $\displaystyle a=-\frac23$ система не имеет решений.

4. 3027. Решить систему для каждого $a$: $$\left\{\begin{aligned} &3x-2y=1, \\ &ax-y+a+1=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: При $\displaystyle a\neq\frac32$: $\displaystyle x=\frac{2a+3}{3-2a}$, $\displaystyle y=\frac{4a+3}{3-2a}$. При $\displaystyle a=\frac32$ система не имеет решений.

5. 3028. Решить систему для каждого $a$: $$\left\{\begin{aligned} &7x+4y=6, \\ &ax-y+3a-1=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: При $\displaystyle a\neq-\frac74$: $\displaystyle x=\frac{10-12a}{4a+7}$, $\displaystyle y=\frac{27a-7}{4a+7}$. При $\displaystyle a=-\frac74$ система не имеет решений.

6. 3029. Решить систему для каждого $a$: $$\left\{\begin{aligned} &2x+3y=18, \\ &ax-y+3a-1=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: При $\displaystyle a\neq-\frac23$: $\displaystyle x=\frac{21-9a}{3a+2}$, $\displaystyle y=\frac{24a-2}{3a+2}$. При $\displaystyle a=-\frac23$ система не имеет решений.

7. 3030. Найти значения параметра $a$, при которых система $$\left\{\begin{aligned} &ax+x+y-a-1=0, \\ &4x+ay-2y+a-7=0 \end{aligned}\right.$$ а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) При $a=-2$; б) при $a=3$.

8. 3031. Найти значения параметра $a$, при которых система $$\left\{\begin{aligned} &ax-x+5y-a-1=0, \\ &x+ay+3y+a-5=0 \end{aligned}\right.$$ а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) При $a=-4$; б) при $a=2$.

9. 3032. Найти значения параметра $a$, при которых система $$\left\{\begin{aligned} &ax-3x-y-a+1=0, \\ &4x+ay+2y-a+6=0 \end{aligned}\right.$$ а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) При $a=-1$; б) при $a=2$.

10. 3033. Найти значения параметра $a$, при которых система $$\left\{\begin{aligned} &ax-2x+2y+a-2=0, \\ &7x+ay+3y-a+11=0 \end{aligned}\right.$$ а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) При $a=-5$; б) при $a=4$.

11. 3034. Найти значения параметра $a$, при которых система $$\left\{\begin{aligned} &ax-x+3y-a-3=0, \\ &2x+ay+4y-12+a=0 \end{aligned}\right.$$ а) не имеет решений;
б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) При $a=-5$; б) при $a=2$.

12. 4029. Найти все значения параметра $a$, при которых система $$\left\{ \begin{aligned} &y-|x|=0, \\ &x^2+(y-a)^2=18 \end{aligned}\right. $$ имеет четыре решения.

Ответ: $a\in(0,~6)$

13. 6100. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} &(x-2a+4)^2+(y-a+1)^2=3a+5, \\ &|y+2x-1| \leqslant 5 \end{aligned}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $a=0$; $a=5$.

14. 6101. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} &(x-a+2)^2+(y-2a+3)^2=3a+8, \\ &|2y+x+3| \leqslant 5 \end{aligned}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $a\in[-1;~4]$

15. 6273. Найти все значения параметра $a$, при которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} &ay^2-a^2xy+xy+a^2y-y-ax^2+2ax-a=0, \\ &x^2-10x+y^2-6|y|+29=0 \end{aligned}\right.$$ имеет ровно четыре решения.