1. 328. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_1^4\frac{2\sqrt x+1}{2x(\sqrt x+1)}\,dx$
Ответ: $\ln 3$
2. 329. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_1^9\frac{dx}{2\sqrt x(x+ \sqrt x)}$
Ответ: $\displaystyle\ln\frac32$
3. 330. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_4^9\frac{2\sqrt x-1}{2\sqrt x(x- \sqrt x)}\,dx$
Ответ: $\ln3$
4. 331. Выполнив подходящую замену, вычислить $\displaystyle\int_{1/9}^{4/9}\frac{\sqrt x-3}{2(x-1)\sqrt x}\,dx$
Ответ: $\displaystyle\ln\frac{25}{8}$
5. 332. Применив замену $x=\sin t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{1/2}^{1/\sqrt2}\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
Ответ: $\displaystyle\frac{2-\sqrt3}{4}$
6. 333. Применив замену $x=\textrm{tg} t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{1/\sqrt3}^{\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}$
7. 334. Применив замену $x=\sin t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{-1/2}^{1/\sqrt2}\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3+2}{4}$
8. 335. Применив замену $x=\textrm{tg}\,t$, вычислить $\displaystyle\int\limits_{-\sqrt3}^{-1/\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}$
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}$
9. 1253. Вычислить: $\displaystyle\int_1^e\frac{dx}{x\sqrt{1-\ln^2x}}$
Ответ: $\pi/2$
10. 1255. Вычислить: $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$
Решение. Указание. Сделать замену $x=\sin t$.
Ответ: $\pi/4$
11. 1258. Вычислить: $\displaystyle \int_1^{\sqrt3}\frac{3x^2+3x+1}{x^3+x}\,dx$.
Ответ: $\ln 2+\frac{\ln3}{2}+\frac{\pi}{4}$
12. 1260. Вычислить: $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos x}$.
Ответ: 2
13. 1261. Вычислить: $\displaystyle \int_{1/\pi}^{2/\pi}\frac{\sin\frac1x}{x^2}\,dx$.
Ответ: 1
14. 1289. Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{\sin x}}$.
Ответ: $2-\sqrt2$
15. 1300. Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\sin 1}^{\sin\sqrt[3]{e}}\frac{dx}{\arcsin x\sqrt{1-x^2}}$.
Ответ: $1/3$
16. 1308. Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle\frac{\pi^2}{36}$
17. 1309. Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} 2x\cos x^2\,dx$.
Ответ: $\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}$
18. 1310. Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_1^e\frac{\ln^2 x\,dx}{x}$.
Ответ: $\displaystyle\frac{1}{3}$
19. 1311. Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^1\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}$.
Ответ: $\displaystyle\text{arctg}\,e-\frac{\pi}{4}$
20. 1339. Вычислить: $\displaystyle\int_4^9\frac{\sqrt x\,dx}{\sqrt x-1}$.
Ответ: $7+\ln 4$.
21. 1340. Вычислить: $\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt x\,dx}{1+x}$
Ответ: $2-\pi/2$
22. 1341. Вычислить: $\displaystyle\int_3^8\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x}}$.
Ответ: $32/3$
23. 1342. Вычислить: $\displaystyle\int_0^1\frac{x\,dx}{1+\sqrt x}$.
Ответ: $5/3-\ln4$.
24. 1343. Вычислить: $\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt{e^x}}{\sqrt{e^x+e^{-x}}}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle\ln\frac{e+\sqrt{1+e^2}}{1+\sqrt2}$
25. 1344. Найти среднее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{e^{1/x}}{x^2}$ на отрезке $[1,4]$.
Ответ: $\displaystyle \frac{e-e^{1/4}}{3}$
26. 1345. Вычислить: $\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\,dx$.
Ответ: $2-\pi/2$
27. 1346. Найти среднее значение функции $\displaystyle f(x)=\frac{2}{e^x+1}$ на отрезке $[0,2]$.
Ответ: $2+\ln\frac{2}{e^2+1}$.
28. 1442. Вычислить: $\displaystyle\int_0^{\pi^2}\frac{\sin\sqrt x\,dx}{\sqrt x}$.
Ответ: 4.
29. 1443. Вычислить: $\displaystyle\int_1^4\frac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,dx$.
Ответ: $2(e^2-e)$.
30. 1444. Вычислить: $\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x\,dx}{x}$.
Ответ: $\displaystyle\frac12$.