1. 4077. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:4$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OD:OB$.
Ответ: $3:7$
2. 4078. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=2:3$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OM:AO$.
Ответ: $2:5$
3. 4079. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:2$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OD:OB$.
Ответ: $3:5$
4. 4080. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ взята точка $M$ так, что $DM:MC=3:5$. Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$. Найти отношение $OM:AO$.
Ответ: $3:8$
5. 4081. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=2:1$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ: а) $11:4$, б) $5:6$
6. 4082. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=1:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ: а) $4:1$, б) $1:5$
7. 4083. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:3$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ: а) $11:9$, б) $3:8$
8. 4084. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$. На отрезке $AM$ взята точка $N$ так, что $AN:NM=3:2$. Прямая $BN$ пересекает сторону $AC$ треугольника в точке $K$. Найти отношения: а) $BN:NK$, б) $AK:KC$.
Ответ: а) $17:3$, б) $9:8$
9. 4085. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=4$, $AC=15$ и $AB=13$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.
Ответ: а) $7:1$, б) $17:15$, в) $\displaystyle\frac{2025}{476}$
10. 4086. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=4$, $AC=13$ и $AB=15$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.
Ответ: а) $7:1$, б) $19:13$, в) $\displaystyle\frac{1833}{532}$
11. 4087. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=15$, $AC=13$ и $AB=4$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.
Ответ: а) $17:15$, б) $19:13$, в) $\displaystyle\frac{5265}{323}$
12. 4088. В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=13$, $AC=15$ и $AB=4$ проведены биссектрисы $AM$ и $BK$, пересекающиеся в точке $O$. Найти: а) отношение $AO:OM$, б) отношение $BO:OK$, в) площадь четырёхугольника $OMCK$.
Ответ: а) $19:13$, б) $17:15$, в) $\displaystyle\frac{5265}{323}$
13. 4089. Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 8. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 60.
Ответ: 15, 21, 24
14. 4090. Дан треугольник со сторонами 15, 21 и 24. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 20.
Ответ: 5, 7, 8
15. 4091. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=2:3$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $9:16$
16. 4092. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:2$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $4:21$
17. 4093. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=3:1$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $1:15$
18. 4094. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $AM:MB=4:3$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найти отношение площадей треугольника $BMK$ и трапеции $AMKC$.
Ответ: $9:40$
19. 4095. Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его площадь равна 96.
Ответ: 12, 16 и 20.
20. 4096. Дан прямоугольник со сторонами 4 и 7. Найти стороны прямоугольника, подобного данному, если его площадь равна 700.
Ответ: 20, 35.
21. 4097. Дан треугольник со сторонами 9, 12 и 15 ($9^2+12^2=15^2$). Найти стороны треугольника, подобного данного, если его площадь равна 24.
Ответ: 6, 8, 10.
22. 4128. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Через точку $D$ параллельно стороне $AB$ проведена прямая, пересекающая сторону $AC$ в точке $E$. Найти $DE$, если $AB=6$ и $AC=10$.
Ответ: $\displaystyle\frac{15}{4}$
23. 4129. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапеции, площади которых относятся как $2:1$, считая от вершины. В каком отношении эта прямая делит боковую сторону треугольника?
Ответ: $\displaystyle \sqrt{6}+2$
24. 4130. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $48$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $9$. Найти отношение оснований трапеции.
Решение. Пусть $\displaystyle k=\frac{AD}{BC}$ — искомое отношение оснований, а $S$ — площадь треугольника $BOC$. Так как треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны с коэффициентом подобия $k$, то $S_{AOD}=k^2S$. Площади треугольников $AOB$ и $DOC$ равны $\sqrt{S_{BOC}\cdot S_{AOD}}=\sqrt{S\cdot k^2S}=kS=9$, откуда $\displaystyle S=\frac{9}{k}$. Кроме того, площадь трапеции $ABCD$ равна $S_{ABCD}=S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}+S_{AOB}=S+9+k^2S+9=48$, откуда $(k^2+1)S=30$. Подставив сюда $\displaystyle S=\frac{9}{k}$, получим уравнение $$\frac{k^2+1}{k}=\frac{30}{9},$$ корни которого $k=1$ (не подходит) и $k=3$.
Ответ: $3:1$
25. 4131. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD=3\,BC$) равна $56$. На середине стороны $CD$ взята точка $M$, отрезок $AM$ и диагональ $BD$ пересекаются в точке $P$. Найти: а) $BP:PD$; б) $AP:PM$; в) $S_{BPMC}$.
Решение. Продлим $AM$ за точку $M$ до пересечения с продолжением основания $BC$. Пусть $S$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BC$, тогда $\triangle AMD=\triangle SMC$; пусть $AD=SC=3x$, $BC=x$, тогда $BS=4x$. Треугольники $BSP$ и $DAP$ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{BS}{AD}=\frac{4x}{3x}=\frac43$, поэтому $BP:DP=4:3$.
Обозначим $AP=6y$, тогда $\displaystyle PS=\frac43\cdot6y=8y$ и $AS=AP+PS=6y+8y=14y$. Следовательно, $\displaystyle AM=\frac12AS=7y$ и $PM=AM-AP=7y-6y=y$, поэтому $AP:PM=6:1$.
$\displaystyle \frac{S_{ACD}}{S_{BCD}}=\frac{AD}{BC}=\frac{3x}{x}=3$, а площадь трапеции равна $56$, следовательно $S_{ACD}=42$, $S_{BCD}=14$. В треугольнике $ACD$ $AM$ — медиана, следовательно $S_{AMD}=42:2=21$. Но $AP:PM=6:1$, поэтому $S_{PMD}=\frac17S_{AMD}=21:7=3$. Наконец, $S_{BCPM}=S_{BCD}-S_{PMD}=14-3=11$.
Ответ: а) $BP:PD=4:3$; б) $AP:PM=6:1$; в) $S_{BPMC}=11$.
26. 4132. Площадь треугольника $ABC$ равна 18. На стороне $BC$ взята точка $M$, и через неё проведены прямые, параллельные $AB$ и $AC$, пересекающие стороны $AC$ и $AB$ в точках $L$ и $K$ соответственно. Площадь параллелограмма $AKML$ равна 5. Найти $BM:MC$.
Решение. Пусть $BM:MC=k$. Тогда треугольники $KBM$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{k}{k+1}$ и, следовательно, $\displaystyle S_{KBM}=18\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^2$. Треугольники $LMC$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{1}{k+1}$ и, следовательно, $\displaystyle S_{LMC}=18\cdot\left(\frac{1}{k+1}\right)^2$. Сложим площади треугольников $KBM$, $LMC$ и параллелограмма $AKML$: $$18\cdot\left(\frac{k}{k+1}\right)^2 + 18\cdot\left(\frac{1}{k+1}\right)^2 + 5 = 18,$$ откуда $\displaystyle \frac{k^2+1}{(k+1)^2}=\frac{13}{18}$ и, следовательно, $5k^2-26k+5=0$. Решив это уравнение, получим $k=5$ и $k=1/5$.
Ответ: $5$ или $1/5$.
27. 4133. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника, а две вершины — на двух других сторонах треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
Решение. По формуле Герона найдём площадь треугольника: $p=(10+17+21)/2=24$, $S=\sqrt{24\cdot14\cdot7\cdot3}=84$. Тогда высота треугольника, опущенная на большую сторону, равна $\displaystyle \frac{2\cdot84}{21}=8$. Пусть та сторона прямоугольника, что лежит на стороне $21$, равна $x$, тогда другая сторона равна $12-x$. Составим уравнение: $$\frac{x}{21}=\frac{8-(12-x)}{8},$$ откуда $\displaystyle x=\frac{84}{13}$. Вторая сторона равна $\displaystyle 12-x=\frac{72}{13}$.
Ответ: $\displaystyle \frac{72}{13}$, $\displaystyle \frac{84}{13}$,
28. 4134. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $32$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $6$. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ: 3
29. 4135. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $27$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $6$. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ: 2
30. 4136. Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) равна $45$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, площадь треугольника $AOB$ равна $10$. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ: 2