1. 601. Исследовать функцию $\displaystyle y=\sqrt{8x^2-x^4}$ и построить её график.

2. 602. Исследовать функцию $\displaystyle y=1/(e^x-1)$ и построить её график.

3. 603. Исследовать функцию $\displaystyle y=\sqrt[3]{x^3-1}$ и построить её график.

4. 604. Исследовать функцию $\displaystyle y=e^{-x}/(1-x)$ и построить её график.

5. 605. Исследовать функцию $\displaystyle y=\sqrt[3]{(x^2-4x)^2}$ и построить её график.

6. 606. Исследовать функцию $\displaystyle y=x-1-\ln x$ и построить её график.

7. 607. Исследовать функцию $\displaystyle y=\sqrt[3]{x(x-2)^2}$ и построить её график.

8. 608. Исследовать функцию $\displaystyle y=e^x/(x+1)$ и построить её график.

9. 609. Исследовать функцию $\displaystyle y=\sqrt[3]{x}(x-4)$ и построить её график.

10. 610. Исследовать функцию $\displaystyle y=\ln(x^2+4x+5)$ и построить её график.

11. 611. Исследовать функцию $\displaystyle y=\arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}$ и построить её график.

12. 612. Исследовать функцию $\displaystyle y=xe^{2-x}$ и построить её график.

13. 613. Исследовать функцию $\displaystyle y=(x-1)^{2/3}-(x-2)^{2/3}$ и построить её график.

14. 614. Исследовать функцию $\displaystyle y=\ln(2x)-\ln(x+2)$ и построить её график.

15. 615. Исследовать функцию $\displaystyle y=\arcsin\frac{2x}{1+x^2}$ и построить её график.

16. 616. Исследовать функцию $\displaystyle y=e^{-x-1}/x$ и построить её график.

17. 617. Исследовать функцию $\displaystyle y=x\sqrt[3]{x-4}$ и построить её график.

18. 618. Расход электропроводника на километр вычисляется как $W(r)=Ar+B/r$, где $r$ [Ом] — сопротивление, $A$ и $B$ — постоянные. При каком сопротивлении проводник будет наиболее экономным?

19. 619. Найти наибольшее значение функции $y=(x-3)\sqrt {x^2-2}$ на отрезке $[\sqrt {2},~4]$.

20. 620. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 160 км. Из них одновременно выезжают два автобуса с одинаковой скоростью 80 км/ч. Первый идет из города $A$ в город $B$, второй — по направлению, составляющему с направлением движения первого угол $60^\circ$. Через какое время расстояние между автобусами будет наименьшим?

21. 621. При подъеме человеком груза массой $x$ на максимально возможную для него высоту мускулы совершают работу $A=bx(1-x/a)$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. При какой массе груза работа будет наибольшей?

22. 622. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^3+3x^2-9x+2$ на отрезке $[-4,2]$.

Ответ: $\displaystyle\min_{[-4,2]}f(x)=f(1)=-3$, $\displaystyle\max_{[-4,2]}f(x)=f(-3)=29$.

23. 623. Из трех одинаковых досок изготавливается желоб с равнонаклоненными (под углом $\alpha$) к плоскости дна боками. При каком значении $\alpha$ его объем будет наибольшим?

24. 624. Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Найти концентрацию кислорода, при которой окись азота, содержащаяся в смеси, окисляется с максимальной скоростью. Скорость реакции выражается формулой $V=k(100x^2-x^3)$, где $x$ — концентрация окиси азота (в объемных процентах).

25. 625. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\displaystyle\frac{2(x^2+3)}{x^2+2x+5}$ на отрезке $[-5,1]$.

Ответ: $\displaystyle\max_{[-5,1]}f(x)=f(-3)=3$, $\displaystyle\min_{[-5,1]}f(x)=f(1)=1$.

26. 626. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в $294$ м² и разделить затем этот участок забором на две равные прямоугольные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

27. 627. Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на булыжной мостовой выражается формулой $f=29-2V/3+V^2/15$. Определить скорость, при которой сопротивление будет наименьшим.

28. 628. Найти наименьшее значение функции $y=\displaystyle e^{2x}(4x^2-12x+9)$ на отрезке $[1,2]$.

Ответ: $\displaystyle \min_{[1,2]}f(x)=f\left(\frac32\right)=0$

29. 629. Угол наклона $\varphi$ наклонной плоскости может меняться от $0$ до $\pi/2$. Найти наименьшую силу, которая удержит груз массой $m$ на этой плоскости при любом $\varphi$. Коэффициент трения груза о плоскость равен $\mu$.

30. 630. В коническом сосуде, заполненном водой, напряжение $p$, стремящееся разорвать его по образующей, выражается формулой $p=ay(h-y)$, где $h$ — высота сосуда, $y$ — расстояние до уровня жидкости, $a$ — некоторая постоянная. На какой глубине $y$ это напряжение будет наибольшим?