1. 661. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\displaystyle \frac {2x(2x+3)}{x^2+4x+5}$ на отрезке $[-2,1]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-2,1]}f(x)=f(-2)=4$, $\displaystyle\min_{[-2,1]}f(x)=f(-1)=-1$.
2. 662. Сумма высоты и длины окружности основания цилиндрической почтовой посылки не должна превышать $150$ см. Найти размеры наибольшей по объему цилиндрической посылки, которую можно послать почтой.
3. 663. Сопротивление $f$ дороги движению автомобиля при скорости $V$ км/ч на мягкой грунтовой дороге выражается формулой $f=36{,}5-3V/4+V^2/30$. Определить скорость $V$, при которой сопротивление будет наименьшим.
4. 664. Найти наибольшее значение функции $y=\displaystyle (9-x)\sqrt {2x^2-36}$ на отрезке $[3\sqrt 2,8]$.
Ответ: $\displaystyle \max_{[3\sqrt 2,8]}f(x)=f(6)=18$, $\displaystyle \min_{[3\sqrt 2,8]}f(x)=f(3\sqrt2)=0$
5. 665. Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль $A$ идет на юг, двигаясь со скоростью $6$ миль/ч, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля $B$, который идет на запад со скоростью $8$ миль/ч. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приема сигнала?
6. 666. Мощность $P$, отдаваемая электрическим элементом, определяется формулой $P=E^2R/(r+R)^2$, где $E$ — постоянная электродвижущая сила элемента, $r$ — постоянное внутреннее сопротивление, $R$ — внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление $R$, чтобы мощность $P$ была наибольшей?
7. 667. Найти наименьшее значение функции $y=e^x(x^2-6x+9)$ на отрезке $[0,2]$.
Ответ: $\displaystyle\min_{[0,2]}f(x)=f(2)=e^2$
8. 668. Картина висит на стене так, что нижний ее конец на $b$ см, а верхний — на $a$ см выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом?
9. 669. Чтобы сдвинуть с места тело, лежащее на горизонтальной плоскости, нужно приложить силу $\displaystyle F=\frac {\mu mg}{\cos\alpha +\mu\sin\alpha }$, где $\alpha$ — угол между горизонтальным направлением и вектором силы, $m$ — масса груза, $\mu$ — коэффициент трения. Под каким углом следует приложить силу, чтобы ее величина была наименьшей?
10. 670. Найти наименьшее значение функции $\displaystyle y=\frac {3}{2x-1}-\frac {3}{2x-5}$ на отрезке $[1,2]$.
11. 671. Рычаг второго рода имеет точку опоры в $A$, в точке $B$ ($|AB|=a$) подвешен груз $P$. Вес единицы длины рычага равен $k$ ($P>ak/2$). При какой длине рычага груз $P$ будет уравновешиваться наименьшей силой?
12. 672. Освещенность границы круглой площадки радиуса $R$ помещенным на высоте $h$ над ее центром источником света равна $\displaystyle E=\frac{kh}{\left(h^2+R^2\right)^{3/2}}$, где $k$ — постоянная. Найти значение $h$, при котором освещенность границы будет наибольшей.
13. 673. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle y=\frac{2(x^2-7x+7)}{x^2-2x+2}$ на отрезке $[1,4]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[1,4]}f(x)=f(1)=2$, $\displaystyle\min_{[1,4]}f(x)=f(2)=-3$.
14. 674. Миноносец стоит на якоре в 9 км от берега. С миноносца посылают гонца в лагерь, расположенный на берегу в 15 км от ближайшей к миноносцу точки берега. Скорость гонца на веслах 4 км/ч, а на берегу — 5 км/ч. В какой точке берега он должен приставать, чтобы попасть в лагерь как можно быстрее?
15. 675. Объем цилиндрической балки длины $l$, вырезанной из бревна (имеющего форму усеченного конуса) и соосной с ним, равен $V=al(l-b)^2$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные, зависящие от размеров бревна (длина меньше, чем $b$, но больше, чем $b/3$). При каком значении $l$ объем такой балки будет наибольшим?
Решение. Задача сводится к нахождению точки максимума функции $V(l)=al(l-b)^2=al^3-2abl^2+ab^2l$. Для этого найдём нули производной функции:$$V'(l)=3al^2-4abl+ab^2=a(l-b)(3l-b).$$ Решив уравнение $3al^2-4abl+ab^2=0$, получим корни $l=\frac{b}{3}$ и $l=b$.
По условию $\frac{b}{3}\le l\le b$, на этом отрезке производная функции $V'\leq 0$ и, следовательно, функция $V(l)$ убывает. Поэтому объём балки будет наибольшим на левом конце этого интервала: при $l=\frac{b}{3}$
Ответ: $\frac{b}{3}$
16. 676. Найти наименьшее значение функции $\displaystyle y=x^3-6x^2-15x+10$ на отрезке $[-2,6]$.
17. 677. Нужно огородить плитами цветник, прилегающий к стене. Имеется 400 плит длиной по 50 см. Ограда делается в форме прямоугольника. Какими должны быть размеры цветника, чтобы его площадь была наибольшей?
Решение. Указание. Требуется найти стороны прямоугольника наибольшей площади, если сумма трёх его сторон равна $400\cdot0{,}5=200$ м.
Ответ: $50\times100$ м²
18. 678. Полезная мощность электродвигателя вычисляется по формуле $P=UI-I^2R-a$, где $R$ — внутреннее сопротивление, $U$ — напряжение, $a$ — потери холостого хода при напряжении $U$. При какой величине тока $I$ полезная мощность будет наибольшей?
19. 679. Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=e^x(x^2-x-1)$ на отрезке $[-3,0]$.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-3,0]}f(x)=f(-2)=\frac{5}{e^2}$
20. 680. На странице книги печатный текст должен занимать $S$ см². Поля вверху и внизу должны быть по $a$ см, а справа и слева по $b$ см. Найти наиболее экономные размеры бумаги.
Ответ: $\displaystyle 2a+\sqrt\frac{Sa}{b}$ и $\displaystyle 2b+\sqrt\frac{Sb}{a}$
21. 681. Если из круглой пластинки жести радиуса $R$ вырезать сектор с углом $\alpha$ и свернуть из него коническую воронку, то ее объем будет равен $\displaystyle V=\frac{R^3\alpha^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}.$ При каком значении $\alpha$ объем будет наибольшим?
22. 682. Найти наименьшее значение функции $\displaystyle y=\sqrt[3]{2x(x+3)^2}$ на отрезке $[-4,3]$.
23. 683. Если балка прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ оперта на концах и равномерно нагружена, то ее стрела прогиба обратно пропорциональна $ah^3$. Найти величины $a$ и $h$ балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$ наибольшей жесткости.
24. 684. Площадь застекленной части окна, имеющего форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом, равна $\displaystyle S=\frac{a}{2}\left(p-\frac{\pi+4}{4}a\right)$, где $a$ — ширина окна, $p$ — его периметр. Меняя $a$ (и сохраняя $p$ постоянным), можно добиться того, что окно будет пропускать наибольшее количество света. Найти соответствующее значение $a$.
25. 685. Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=\frac{6}{x-5}-\frac{6}{x+3}+6$ на отрезке $[-1,3]$.
26. 686. К бруску, лежащему на горизонтальной плоскости, приложена под углом $\alpha$ к горизонтальному направлению сила, обеспечивающая равномерное его движение. При каком значении $\alpha$ величина такой силы будет наименьшей? Коэффициент трения бруска о плоскость равен $\mu $.
27. 687. Если в электрическую цепь сопротивлением $R$ включен электронагревательный прибор сопротивлением $r$, то количество выделенного в нем тепла находится по формуле $Q=E^2 r/(R+r)^2$, где $E$ — постоянная ЭДС. При каком сопротивлении электронагревательного элемента в нем выделится наибольшее количество тепла?
28. 688. Найти наибольшее значение функции $\displaystyle y=-x^3-6x^2-9x+6$ на отрезке $[-5,2]$.
29. 689. Автомобиль выезжает из $A$ в $B$ со скоростью 50 км/ч. В тот же момент из $B$ в перпендикулярном направлении выезжает другой автомобиль с той же скоростью. Найти наименьшее расстояние между автомобилями, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 100 км.
Решение. Указание. Задача сводится к тому, чтобы (при соответствующем выборе системы координат) найти наименьшее расстояние между точками $A(50t,0)$ и $B(100,50t)$.
Ответ: Наименьшее расстояние будет достигнуто через 1 час после начала движения и составит $50\sqrt2\approx70{,}711$ км.
30. 690. Если из квадратного листа жести со стороной $a$ вырезать по углам равным квадраты со стороной $x$ и, сгибая края, сделать прямоугольную открытую коробку, то ее объем будет равен $V=x(a-2x)^2$. При каком значении $x$ ее объем будет наибольшим?