1. 783. а) Решить уравнение: $6^x+10-5\cdot3^x-2^{x+1}=0$.
б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[\frac12;~\frac94\right]$

Ответ: а) $\log_25$, $\log_32$

2. 784. а) Решить уравнение: $6^x+12-4\cdot2^x-3^{x+1}=0$.
б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[\frac54;~\frac32\right]$

Ответ: а) $\log_34$, $\log_23$

3. 785. а) Решить уравнение: $6^x+14-7\cdot3^x-2^{x+1}=0$.
б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[\frac23;~3\right]$

Ответ: $\log_27$, $\log_32$

4. 786. а) Решить уравнение: $10^x+12-3\cdot5^x-2^{x+2}=0$.
б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle\left[\frac45;~\frac32\right]$

Ответ: а) $\log_54$, $\log_23$

5. 787. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{2^{2x+1}-11\cdot2^x+5}{4x^2-5x-9}\geqslant0$

Ответ: $\displaystyle(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac94\right)\cup[\log_25,+\infty)$

6. 788. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{2^{2x+2}-13\cdot2^x+3}{2x^2+x-6}\geqslant0$

Ответ: $\displaystyle(-\infty,-2)\cup\left(-2,\frac32\right)\cup[\log_23,+\infty)$

7. 789. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{3^{2x+1}-13\cdot3^x+4}{4x^2-x-5}\geqslant0$

Ответ: $\displaystyle(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac54\right)\cup[\log_34,+\infty)$

8. 790. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{3^{2x+2}-19\cdot3^x+2}{2x^2+3x-2}\geqslant0$

Ответ: $\displaystyle(-\infty,-2)\cup\left(-2,\frac12\right)\cup[\log_32,+\infty)$

9. 791. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{2^{2x+1}-7\cdot2^x+3}{5x^2-3x-8}\geqslant0$

Ответ: $\displaystyle(-\infty,-1)\cup(-1,\log_23]\cup\left(\frac85,+\infty\right)$

10. 792. Решить неравенство: $\displaystyle\frac{3^{2x+1}-16\cdot3^x+5}{2x^2-x-3}\geqslant0$

Ответ: $\displaystyle(-\infty,-1)\cup(-1,\log_35]\cup\left(\frac32,+\infty\right)$

11. 793. Решить неравенство: $\displaystyle(\log_2^2x-\log_24x)\log_{\frac x8}2\leqslant0$

Ответ: $\displaystyle\left(0,~\frac12\right]\cup[4,8)$

12. 794. Решить неравенство: $\displaystyle\left(\log_2^2x+\log_2\frac{x^2}{8}\right)\log_{\frac x4}2\leqslant0$

Ответ: $\displaystyle\left(0,~\frac18\right]\cup[2,4)$

13. 795. Решить неравенство: $\displaystyle\left(\log_2^2x+\log_2\frac{x}{4}\right)\log_{\frac x4}2\leqslant0$

Ответ: $\displaystyle\left(0,~\frac14\right]\cup[2,4)$

14. 796. Решить неравенство: $\displaystyle\left(\frac{\log_2x}{\log_{4x}2}-8\right)\log_{\frac x2}2\leqslant0$

Ответ: $\displaystyle \left(0,\frac{1}{16}\right]\cup(2,4]$

15. 797. Решить неравенство: $\displaystyle\left(\frac{\log_2x}{\log_{2x}2}-6\right)\log_{\frac x2}2\leqslant0$

Ответ: $\displaystyle \left(0,\frac{1}{8}\right]\cup(2,4]$

16. 798. Решить неравенство: $\displaystyle(\log_2^2x-\log_28x^2)\log_{\frac x4}2\leqslant0$

Ответ: $\displaystyle\left(0,~\frac12\right]\cup(4,8]$

17. 799. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_2(x^4+2x^3+x^2)-\log_2(4x^2+4x-4)}{x^2+x-6}\geqslant0$

Ответ: $(-\infty, -3)\cup\{-2;1\}\cup(2,+\infty)$

18. 800. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_2(x^4+4x^3+4x^2)-\log_2(6x^2+12x-9)}{x^2+2x-8}\geqslant0$

Ответ: $(-\infty, -4)\cup\{-3;1\}\cup(2,+\infty)$

19. 801. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_2(x^4+6x^3+9x^2)-\log_2(8x^2+24x-16)}{x^2+3x-10}\geqslant0$

Ответ: $(-\infty, -5)\cup\{-4;1\}\cup(2,+\infty)$

20. 802. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_2(x^4-2x^3+x^2)-\log_2(4x^2-4x-4)}{x^2-x-6}\geqslant0$

Ответ: $(-\infty, -2)\cup\{-1;2\}\cup(3,+\infty)$

21. 803. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_2(x^4-4x^3+4x^2)-\log_2(16x^2-32x-64)}{x^2-2x-15}\geqslant0$

Ответ: $(-\infty, -3)\cup\{-2;4\}\cup(5,+\infty)$

22. 804. Решить неравенство: $\displaystyle \frac{\log_2(x^4-6x^3+9x^2)-\log_2(8x^2-24x-16)}{x^2-3x-10}\geqslant0$

Ответ: $(-\infty, -2)\cup\{-1;4\}\cup(5,+\infty)$

23. 805. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=4x^5-15x^4-20x^3+110x^2-120x$.

Ответ: Критические точки: −2 (точка максимума), 1 и 3 (точка минимума). Функция возрастает на $(-\infty,-2]$ и на $[3,+\infty)$; убывает на $[-2,3]$.

24. 806. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^5+15x^4+10x^3-30x^2-45x$.

Ответ: Критические точки: −3 (точка максимума), −1 и 1 (точка минимума). Функция возрастает на $(-\infty,-3]$ и на $[1,+\infty)$; убывает на $[-3,1]$.

25. 807. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^5-5x^4-5x^3+35x^2-40x$.

Ответ: Критические точки: −2 (точка максимума), 1 и 4 (точка минимума). Функция возрастает на (−∞,−2] и на [4,+∞); убывает на [−2,4].

26. 808. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^5-55x^3-135x^2-120x$.

Ответ: Критические точки: −2 (точка максимума), −1 и 4 (точка минимума). Функция возрастает на (−∞,−2] и на [4,+∞); убывает на [−2,4].

27. 809. Исследовать функцию на монотонность: $y=(x^2-4x+1)e^{-x}$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty,1]$ и на $[5,\infty)$; возрастает на $[1,5]$.

28. 810. Исследовать функцию на монотонность: $y=(x^2-2x-7)e^{-x}$.

Ответ: Функция убывает на (−∞,−1] и на [5,∞); возрастает на [−1,5].

29. 811. Исследовать функцию на монотонность: $y=(x^2-x-5)e^{-x}$.

Ответ: Функция убывает на (−∞,−1] и на [4,∞); возрастает на [−1,4].

30. 812. Исследовать функцию на монотонность: $y=(2x^2+x-4)e^{-x}$.

Ответ: Функция убывает на (−∞,−1] и на [5/2,∞); возрастает на [−1,5/2].