1. 805. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=4x^5-15x^4-20x^3+110x^2-120x$.
Ответ: Критические точки: −2 (точка максимума), 1 и 3 (точка минимума). Функция возрастает на $(-\infty,-2]$ и на $[3,+\infty)$; убывает на $[-2,3]$.
2. 806. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^5+15x^4+10x^3-30x^2-45x$.
Ответ: Критические точки: −3 (точка максимума), −1 и 1 (точка минимума). Функция возрастает на $(-\infty,-3]$ и на $[1,+\infty)$; убывает на $[-3,1]$.
3. 807. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^5-5x^4-5x^3+35x^2-40x$.
Ответ: Критические точки: −2 (точка максимума), 1 и 4 (точка минимума). Функция возрастает на (−∞,−2] и на [4,+∞); убывает на [−2,4].
4. 808. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^5-55x^3-135x^2-120x$.
Ответ: Критические точки: −2 (точка максимума), −1 и 4 (точка минимума). Функция возрастает на (−∞,−2] и на [4,+∞); убывает на [−2,4].
5. 809. Исследовать функцию на монотонность: $y=(x^2-4x+1)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,1]$ и на $[5,\infty)$; возрастает на $[1,5]$.
6. 810. Исследовать функцию на монотонность: $y=(x^2-2x-7)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на (−∞,−1] и на [5,∞); возрастает на [−1,5].
7. 811. Исследовать функцию на монотонность: $y=(x^2-x-5)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на (−∞,−1] и на [4,∞); возрастает на [−1,4].
8. 812. Исследовать функцию на монотонность: $y=(2x^2+x-4)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на (−∞,−1] и на [5/2,∞); возрастает на [−1,5/2].
9. 813. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^4-20x^3+48x^2-48x$.
Ответ: Критические точки: 1 (точка минимума) и 2. Функция убывает на $(-\infty,1]$, возрастает на $[1,+\infty)$.
10. 814. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^4-4x^3-6x^2+12x$.
Ответ: Критические точки: $-1$ (точка минимума) и 1. Функция убывает на $(-\infty,-1]$, возрастает на $[-1,+\infty)$.
11. 815. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=3x^4+4x^3-6x^2-12x$.
Ответ: Критические точки: $-1$ и 1 (точка минимума). Функция убывает на $(-\infty,1]$, возрастает на $[1,+\infty)$.
12. 816. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^4-6x^2+8x$.
Ответ: Критические точки: $-2$ (точка минимума) и 1. Функция убывает на $(-\infty,-2]$, возрастает на $[-2,+\infty)$.
13. 817. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+2x-2)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-2]$ и на $[2,\infty)$; возрастает на $[-2,2]$.
14. 818. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+3x+3)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-1]$ и на $[0,\infty)$; возрастает на $[-1,0]$.
15. 819. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+4x+4)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-2]$ и на $[0,\infty)$; возрастает на $[-2,0]$.
16. 820. Исследовать функцию на монотонность: $f(x)=(x^2+4x+1)e^{-x}$.
Ответ: Функция убывает на $(-\infty,-3]$ и на $[1,\infty)$; возрастает на $[-3,1]$.
17. 821. Найти критические точки и точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=8x^5+15x^4-40x^3-130x^2-120x$.
Ответ: Критические точки: −3/2 (точка максимума), −1 и 2 (точка минимума). Функция возрастает на (−∞,−3/2] и на [2,+∞); убывает на [−3/2,2].
18. 823. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3-3x^2-36x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−2] и на [3,+∞); убывает на [−2,3].
19. 824. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3+3x^2-36x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [2,+∞); убывает на [−3,2].
20. 825. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3+3x^2-12x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−2] и на [1,+∞); убывает на [−2,1].
21. 826. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^3+3x^2-9x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [1,+∞); убывает на [−3,1].
22. 827. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3-9x^2-60x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−2] и на [5,+∞); убывает на [−2,5].
23. 828. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^3-6x^2-15x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−1] и на [5,+∞); убывает на [−1,5].
24. 829. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=x^3-3x^2-45x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [5,+∞); убывает на [−3,5].
25. 830. Найти точки экстремума функции, указать промежутки возрастания и убывания: $y=2x^3-3x^2-72x$.
Ответ: Функция возрастает на (−∞,−3] и на [4,+∞); убывает на [−3,4].
26. 1127. Написать уравнения касательных к графику функции $y=18\ln x-x^3+9x^2-33x+27$ в точках её максимума.
Ответ: $y=2$, $\displaystyle y=18\ln\frac3e$
27. 1128. Написать уравнение касательной к графику функции $y=12\ln x+x^2-10x+8$ в точке её минимума.
Ответ: $y=12\ln 3-13$
28. 1129. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x(2e^x-xe^2-2e^2)$, параллельных оси абсцисс.
Ответ: $\displaystyle y=\frac{e^3-2}{e}$, $y=-4e^2$
29. 1130. Написать уравнения касательных к графику функции $y=x-2\ln(x^2+1)+2\text{arctg}\,x$, параллельных оси абсцисс.
Ответ: $\displaystyle y=\frac{\pi+2-\ln16}{2}$, $y=3-2\ln10+2\text{arctg}\,3$
30. 1131. Написать уравнение касательной к графику функции $y=\ln(4x-x^2)$, параллельной оси абсцисс.
Ответ: $y=\ln 4$