1. 843. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~2)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~0)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

Ответ: $C(9,~1)$

2. 844. Вокруг треугольника с вершинами в точках $A(-6,~2)$, $B(-6,~6)$ и $C(2,~6)$ описана окружность.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с координатными осями.

Ответ: $(x+2)^2+(y-4)^4=20$, $(-4,~0)$, $(0,~0)$, $(0,~8)$

3. 845. Графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2-6x-2y=3 \\ &x^2+y^2-6x-6y=7. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(0,~-1)$, $(6,~-1)$

4. 846. Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(2,~-3)$, $B(-4,~5)$ и $C(4,~-1)$ — равнобедренный с основанием $AC$.

5. 847. В квадрате $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-1,~-3)$ и $B(4,~2)$. Точка $M(1{,}5,~4{,}5)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты двух других вершин квадрата.

Ответ: $C(-1,~7)$, $D(-6,~2)$

6. 848. Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~5)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

Ответ: $C(9,~1)$

7. 849. Вокруг прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ описана окружность. Координаты вершин: $A(-2,~1)$, $C(6,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.

Ответ: $(x-2)^2+(y-3)^2=20$; $(0,~-1)$, $(0,~7)$

8. 850. Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=5, \\ &x^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{25}{4}. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(-2,~1)$, $(2,~4)$

9. 851. Доказать, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-2)$, $B(3,~-3)$ и $C(1,~6)$ является прямоугольным.

10. 852. Доказать, что четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-2)$, $B(3,~-7)$, $C(4,~0)$ и $D(-1,~5)$ является параллелограммом. Является ли этот четырехугольник ромбом? Квадратом? Обоснуйте ответ.

Ответ: Ромбом является. Квадратом — нет

11. 853. Точки $A(2,~-5)$ и $B(7,~-4)$ — вершины параллелограмма $ABCD$. На его диагонали $BD$ взята точка $M(6,~-2)$ так, что $DM=3\cdot BM$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.

Ответ: $C(8,~5)$, $D(3,~4)$

12. 854. Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты вершины $C$ треугольника и координаты точки $O$ пересечения медиан треугольника.

Ответ: $C(11,~1)$, $O(4,~2)$

13. 855. Точки $A(2,~-2)$ и $B(-1,~7)$ — вершины треугольника $ABC$. Точка $P(5,~4)$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AP \bot BC$. Найдите площадь треугольника.

Ответ: 45

14. 856. Написать уравнение окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~5)$, $B(0,~-1)$ и $C(12,~3)$. Найти координаты точек пересечения этой окружности с осью ординат.

Ответ: $(x-5)^2+(y-4)^2=50$; $(0,~-1)$, $(0,~9)$

15. 857. Точки $A(-1,~-2)$ и $B(-5,~6)$ — диаметрально противоположные точки некоторой окружности $\omega$. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(7,~7)$, касающейся окружности $\omega$ внешним образом.

Ответ: $(x-7)^2+(y-7)^2=45$

16. 858. Графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned} &x^2-4x+y^2-2y=0, \\ &x^2+8x+y^2-8y+12=0. \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(0,~2)$

17. 859. Найти площадь ромба $ABCD$ с вершинами в точках $A(-1,~1)$, $B(4,~-4)$, $C(3,~3)$ и $D(-2,~8)$.

Ответ: 30

18. 860. В треугольнике $ABC$ с вершиной в точке $B(-4,~7)$ проведена средняя линия $MN$, параллельная стороне $AC$; $\displaystyle M\left(-\frac52,~1\right)$, $\displaystyle N\left(\frac12,~5\right)$. Найти медиану треугольника, проведенную из вершины $B$.

Ответ: 10

19. 861. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~-2)$, $B(-1,~5)$ и $C(8,~0)$.

Ответ: $(1,~1)$

20. 862. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(-1,~1)$, касающейся окружности $$x^2+10x+y^2+4y+25=0$$ внутренним образом.

Ответ: $(x+1)^2+(y-1)^2=49$

21. 863. Найти площадь квадрата $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(0,~3)$, $C(4,~1)$ и $D(2,~-3)$.

Ответ: 20

22. 864. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ заданы координаты двух вершин при основании: $C(-3,~3)$ и $D(1,~5)$. $MN$ — средняя линия трапеция; точка $M(-4,~-1)$ лежит на боковой стороне $AC$, точка $N(4,~3)$ лежит на стороне $BD$. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Ответ: $2\sqrt{10}$

23. 865. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-5,~0)$, $B(-6,~7)$ и $C(8,~-1)$.

Ответ: $(-1,~2)$

24. 866. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(-3,~2)$, касающейся окружности $$x^2-2x+y^2+2y-7=0$$ внешним образом.

Ответ: $(x+3)^2+(y-2)^2=4$

25. 867. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-3)$, $B(-3,~6)$ и $C(5,~0)$ проведена высота $BH$; $H(1,~-2)$. Найти площадь треугольника.

Ответ: 30

26. 869. В параллелограмме $ABCD$ с вершиной в точке $A(-7,~-1)$ точки $\displaystyle M\left(-\frac{11}{2},~2\right)$ и $\displaystyle N\left(-\frac{5}{2},~\frac12\right)$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Найти диагональ $AC$ параллелограмма.

Ответ: 15

27. 870. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-1)$, $B(4,~6)$ и $C(6,~-2)$.

Ответ: $(3,~1)$

28. 871. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(-3,~0)$, касающейся окружности $$x^2-2x+y^2-6y+6=0$$ внутренним образом.

Ответ: $(x+3)^2+y^2=49$

29. 872. Треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-1,~-2)$, $B(1,~7)$ и $C(7,~0)$ — равнобедренный с основанием $AC$. Найти площадь треугольника.

Ответ: 34

30. 873. В треугольнике $ABC$ с вершиной в точке $B(-3,~1)$ проведена средняя линия $MN$, параллельная стороне $AC$; $\displaystyle M\left(-\frac52,~-\frac32\right)$, $\displaystyle N\left(\frac12,~\frac12\right)$. Найти медиану треугольника, проведенную из вершины $B$.

Ответ: 5