1. 874. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(4,~0)$ и $C(1,~4)$.

Ответ: $(1,~1)$

2. 875. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(-1,~1)$, касающейся окружности $$x^2+10x+y^2+4y+25=0$$ внешним образом.

Ответ: $(x+1)^2+(y-1)^2=9$

3. 876. Треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-3,~3)$, $B(-1,~-3)$ и $C(6,~6)$ — прямоугольный с гипотенузой $AC$. Найти площадь треугольника.

Ответ: 30

4. 877. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ заданы координаты двух вершин при основании: $C(-1,~7)$ и $D(11,~1)$. $MN$ — средняя линия трапеция; точка $M(-2,~3)$ лежит на боковой стороне $AC$, точка $N(6,~-1)$ лежит на стороне $BD$. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Ответ: $6\sqrt{2}$

5. 878. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~1)$, $B(5,~-1)$ и $C(2,~6)$.

Ответ: $(1,~2)$

6. 879. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(-3,~2)$, касающейся окружности $$x^2-2x+y^2+2y-7=0$$ внутренним образом.

Ответ: $(x+3)^2+(y-2)^2=64$

7. 880. В параллелограмме $ABCD$ с вершинами в точках $A(-6,~-3)$, $B(-5,~4)$, $C(4,~7)$ и $D(3,~0)$ из вершины $B$ на сторону $AD$ опущена высота $BH$; $H(-3,~-2)$. Найти площадь параллелограмма.

Ответ: 60

8. 881. В параллелограмме $ABCD$ с вершиной в точке $A(-5,~-1)$ точки $M(-4,~1)$ и $N(-2,~0)$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Найти диагональ $AC$ параллелограмма.

Ответ: 10

9. 882. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-3,~-1)$, $B(5,~-3)$ и $C(1,~7)$.

Ответ: $(1,~1)$

10. 883. Написать уравнение окружности с центром в точке $O(-3,~0)$, касающейся окружности $$x^2-2x+y^2-6y+6=0$$ внешним образом.

Ответ: $(x+3)^2+y^2=9$

11. 884. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-2,~9)$, $B(-4,~-1)$ и $C(10,~1)$. Написать уравнение прямой, проходящей через середины сторон $AB$ и $AC$.

Ответ: $x-7y+31=0$

12. 885. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-2,~9)$, $B(-4,~-1)$ и $C(10,~1)$. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины $B$.

Ответ: $3x-4y+8=0$

13. 886. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-3,~9)$, $B(11,~7)$ и $C(13,~1)$. Найти координаты точки, равноудаленной от его вершин.

Ответ: $O(3,~1)$

14. 887. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5,~-3)$, $B(-2,~6)$ и $C(5,~2)$. Найти координаты ортоцентра (точки пересечения высот) треугольника.

Ответ: $O(-1,~4)$

15. 888. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5,~-3)$, $B(-3,~6)$ и $C(7,~1)$.Найти координаты ортоцентра (точки пересечения высот) треугольника.

Ответ: $O(-2,~3)$

16. 889. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-3,~-1)$, $B(-2,~6)$ и $C(3,~1)$; $AK$ — высота треугольника. Найти длину отрезка $AK$ и координаты точки $K$.

Ответ: $K(1,~3)$, $AK=4\sqrt2$

17. 890. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-2,~0)$, $B(-1,~3)$ и $C(4,~-2)$; $AK$ — высота треугольника. Найти длину отрезка $AK$ и координаты точки $K$.

Ответ: $K(0,~2)$, $AK=2\sqrt2$

18. 891. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5,~2)$, $B(-2,~6)$ и $C(7,~-3)$. Написать уравнение биссектрисы $AK$ угла $A$ треугольника. Найти координаты точки $K$.

Ответ: $3x-11y+37=0$; $\displaystyle K\left(\frac12,~\frac72\right)$

19. 892. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-9,~3)$, $B(3,~8)$ и $C(6,~-5)$. Написать уравнение биссектрисы $AK$ угла $A$ треугольника. Найти координаты точки $K$.

Ответ: $x+21y-54=0$; $\displaystyle K\left(\frac{43}{10},~\frac{71}{30}\right)$

20. 893. Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(2,~-4)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное $2$. Найти косинус угла между этими прямыми.

Ответ: $3x+4y=-10$, $x=2$; $3/5$

21. 894. Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(-2,~14)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное $10$. Найти угол между этими прямыми.

Ответ: $4x-3y=-50$, $-4x-3y=-50$; $90^{\circ}$

22. 895. Точки $K(-1,~-1)$, $L(7,~3)$, $M(9,~-1)$, $N(4,~-6)$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Найти координаты вершин квадрата.

Ответ: $A(-2,~-4)$, $B(1,~5)$, $C(10,~2)$, $D(7,~-7)$

23. 896. Точки $K(-4,~0)$, $L(1,~5)$, $M(6,~0)$, $N(3,~-4)$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Найти координаты вершин квадрата.

Ответ: $A(-1,~-6)$, $B(-5,~2)$, $C(3,~6)$, $D(7,~-2)$

24. 897. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(3,~1)$ перпендикулярно прямой $2x+3y+4=0$.

Ответ: $3x-2y-7=0$

25. 898. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(-1,~7)$ и $B(7,~1)$.

Ответ: $3x+4y-25=0$, $d=5$

26. 899. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-8,~4)$, $B(4,~-4)$ и $C(7,~7)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.

Ответ: $M(1,~-2)$, $K(2,~6)$, $MK=\sqrt{65}$

27. 900. Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$. Указание. Задача сводится к тому, чтобы на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$ найти две точки, удаленные от прямой $AB$ на расстояние, равное высоте треугольника.

28. 901. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(3,~1)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{3}$.

Ответ: $2x+3y-9=0$

29. 902. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(1,~7)$ и $B(7,~-1)$.

Ответ: $4x+3y-25=0$, $d=5$

30. 903. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-5,~1)$, $B(4,~-2)$ и $C(3,~5)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.

Ответ: $M(1,~-1)$, $K(1,~4)$, $MK=5$