1. 884. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-2,~9)$, $B(-4,~-1)$ и $C(10,~1)$. Написать уравнение прямой, проходящей через середины сторон $AB$ и $AC$.

Ответ: $x-7y+31=0$

2. 885. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-2,~9)$, $B(-4,~-1)$ и $C(10,~1)$. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины $B$.

Ответ: $3x-4y+8=0$

3. 886. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-3,~9)$, $B(11,~7)$ и $C(13,~1)$. Найти координаты точки, равноудаленной от его вершин.

Ответ: $O(3,~1)$

4. 887. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5,~-3)$, $B(-2,~6)$ и $C(5,~2)$. Найти координаты ортоцентра (точки пересечения высот) треугольника.

Ответ: $O(-1,~4)$

5. 888. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5,~-3)$, $B(-3,~6)$ и $C(7,~1)$.Найти координаты ортоцентра (точки пересечения высот) треугольника.

Ответ: $O(-2,~3)$

6. 889. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-3,~-1)$, $B(-2,~6)$ и $C(3,~1)$; $AK$ — высота треугольника. Найти длину отрезка $AK$ и координаты точки $K$.

Ответ: $K(1,~3)$, $AK=4\sqrt2$

7. 890. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-2,~0)$, $B(-1,~3)$ и $C(4,~-2)$; $AK$ — высота треугольника. Найти длину отрезка $AK$ и координаты точки $K$.

Ответ: $K(0,~2)$, $AK=2\sqrt2$

8. 891. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5,~2)$, $B(-2,~6)$ и $C(7,~-3)$. Написать уравнение биссектрисы $AK$ угла $A$ треугольника. Найти координаты точки $K$.

Ответ: $3x-11y+37=0$; $\displaystyle K\left(\frac12,~\frac72\right)$

9. 892. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-9,~3)$, $B(3,~8)$ и $C(6,~-5)$. Написать уравнение биссектрисы $AK$ угла $A$ треугольника. Найти координаты точки $K$.

Ответ: $x+21y-54=0$; $\displaystyle K\left(\frac{43}{10},~\frac{71}{30}\right)$

10. 893. Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(2,~-4)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное $2$. Найти косинус угла между этими прямыми.

Ответ: $3x+4y=-10$, $x=2$; $3/5$

11. 894. Написать уравнения прямых, проходящих через точку $M(-2,~14)$ и удаленных от начала координат на расстояние, равное $10$. Найти угол между этими прямыми.

Ответ: $4x-3y=-50$, $-4x-3y=-50$; $90^{\circ}$

12. 895. Точки $K(-1,~-1)$, $L(7,~3)$, $M(9,~-1)$, $N(4,~-6)$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Найти координаты вершин квадрата.

Ответ: $A(-2,~-4)$, $B(1,~5)$, $C(10,~2)$, $D(7,~-7)$

13. 896. Точки $K(-4,~0)$, $L(1,~5)$, $M(6,~0)$, $N(3,~-4)$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Найти координаты вершин квадрата.

Ответ: $A(-1,~-6)$, $B(-5,~2)$, $C(3,~6)$, $D(7,~-2)$

14. 897. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(3,~1)$ перпендикулярно прямой $2x+3y+4=0$.

Ответ: $3x-2y-7=0$

15. 898. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(-1,~7)$ и $B(7,~1)$.

Ответ: $3x+4y-25=0$, $d=5$

16. 899. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-8,~4)$, $B(4,~-4)$ и $C(7,~7)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.

Ответ: $M(1,~-2)$, $K(2,~6)$, $MK=\sqrt{65}$

17. 900. Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$. Указание. Задача сводится к тому, чтобы на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$ найти две точки, удаленные от прямой $AB$ на расстояние, равное высоте треугольника.

18. 901. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(3,~1)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{3}$.

Ответ: $2x+3y-9=0$

19. 902. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(1,~7)$ и $B(7,~-1)$.

Ответ: $4x+3y-25=0$, $d=5$

20. 903. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-5,~1)$, $B(4,~-2)$ и $C(3,~5)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.

Ответ: $M(1,~-1)$, $K(1,~4)$, $MK=5$

21. 904. Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ --- вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.

22. 905. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(-2,~4)$ перпендикулярно прямой $3x-2y+1=0$.

Ответ: $2x+3y-8=0$

23. 906. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(-10,~-5)$ и $B(-4,~3)$.

Ответ: $4x-3y+25=0$, $d=5$

24. 907. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~2)$, $B(7,~-1)$ и $C(3,~7)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.

Ответ: $M(1,~1)$, $K(1,~5)$, $MK=4$

25. 908. Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.

26. 909. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(2,~-1)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}$.

Ответ: $2x+3y-9=0$

27. 910. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(1,~7)$ и $B(-11,~-2)$.

Ответ: $3x-4y+25=0$, $d=5$

28. 911. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~-3)$, $B(5,~0)$ и $C(0,~5)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.

Ответ: $M(2,~-1)$, $K(-1,~3)$, $MK=5$

29. 912. Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.

30. 913. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(0,~6)$ перпендикулярно прямой $2x-5y+1=0$.

Ответ: $5x+2y-12=0$