1. 904. Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ --- вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
2. 905. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(-2,~4)$ перпендикулярно прямой $3x-2y+1=0$.
Ответ: $2x+3y-8=0$
3. 906. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(-10,~-5)$ и $B(-4,~3)$.
Ответ: $4x-3y+25=0$, $d=5$
4. 907. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~2)$, $B(7,~-1)$ и $C(3,~7)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.
Ответ: $M(1,~1)$, $K(1,~5)$, $MK=4$
5. 908. Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
6. 909. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(2,~-1)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}$.
Ответ: $2x+3y-9=0$
7. 910. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(1,~7)$ и $B(-11,~-2)$.
Ответ: $3x-4y+25=0$, $d=5$
8. 911. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~-3)$, $B(5,~0)$ и $C(0,~5)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.
Ответ: $M(2,~-1)$, $K(-1,~3)$, $MK=5$
9. 912. Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
10. 913. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(0,~6)$ перпендикулярно прямой $2x-5y+1=0$.
Ответ: $5x+2y-12=0$
11. 914. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(-7,~-1)$ и $B(1,~-7)$.
Ответ: $3x+4y+25=0$, $d=5$
12. 915. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~-2)$, $B(4,~2)$ и $C(-1,~7)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.
Ответ: $M(2,~1)$, $K(-2,~4)$, $MK=5$
13. 916. Точки $A(-3,-2)$ и $B(1,~1)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
14. 917. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $O(-2,~1)$ перпендикулярно прямой $\displaystyle \frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{-3}$.
Ответ: $4x-3y+11=0$
15. 918. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через точки $A(-10,~5)$ и $B(-1,~-7)$.
Ответ: $4x+3y+25=0$, $d=5$
16. 919. В $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(-6,~3)$, $B(6,~-1)$ и $C(-1,~8)$ проведены высоты $CM$ и $BK$. Найти $MK$.
Ответ: $M(-3,~2)$, $K(-2,~7)$, $MK=\sqrt{26}$
17. 920. Точки $A(-3,1)$ и $B(0,~-3)$ — вершины равностороннего треугольника $ABC$. Найти координаты третьей вершины $C$. Рассмотреть оба варианта положения точки $C$.
18. 921. На оси абсцисс найти точку $M$, равноудаленную от точек $A(-7,~2)$ и $B(9,~6)$.
Решение. Так как искомая точка лежит на оси абсцисс, ее координата по оси ординат равна $0$. Будем искать координаты точки $M$ в виде $(x,~0)$. По условию задачи $AM=BM$. Cоставим уравнение на $x$, приравняв выражения для квадратов длин отрезков $AM$ и $BM$: $$(x-(-7))^2+(0-2)^2=(x-9)^2+(0-6)^2,$$ решив которое, получим $x=2$.
Ответ: $M(2,~0)$
19. 922. На оси ординат найти точку $M$, равноудаленную от точек $A(-2,~-1)$ и $B(4,~1)$.
Ответ: $M(0,~3)$
20. 923. В треугольнике $ABC$ заданы координаты двух вершин: $B(-6,~0)$ и $C(5,~-2)$. Медианы $BP$ и $CR$ пересекаются в точке $O(0,~2)$. Найти координаты вершины $A$ треугольника
Решение. Найдем координаты вектора $\overline{BO}=(0-(-6),~2-0)=\overline{(6,~2)}$. Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины, то $\overline{OP}=\frac12\overline{BO}=(3,~1)$. Теперь, зная координаты точки $O$ и координаты вектора $\overline{OP}$, можно найти координаты точки $P$. Так как $P$ — середина $AC$ и координаты точки $C$ известны из условия задачи, завершить решение не составит труда. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $A(1,~8)$
21. 924. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-7,~-1)$, $B(-3,~7)$, $C(7,~-3)$. Найти угол между медианами $AK$ и $BM$ треугольника. Найти площадь треугольника.
Ответ: $(-1,~1)$; $90^{\circ}$; $60$
22. 925. Найти длину диагонали $AC$ в параллелограмме $ABCD$. Координаты вершин: $A(-4,~3)$, $B(-2,~4)$, $D(6,~1)$.
Ответ: 15
23. 926. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $A(2,~-3)$ параллельно прямой с уравнением $5x+6y+7=0$.
Решение. Замечание. У данной прямой $5x+6y+7=0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec n=(5,~6)$. У прямой, ей параллельной, нормальный вектор должен быть таким же.
Ответ: $5x+6y+8=0$
24. 927. Дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-3,~6)$, $B(-1,~-4)$ и $C(5,~2)$. Написать уравнение средней линии треугольника, параллельной стороне $AC$.
Ответ: $y=-x/2$
25. 928. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-6,~0)$, $B(6,~-3)$ и $C(5,~10)$ найти высоту, проведенную из вершины $C$.
Ответ: $3\sqrt{17}$
26. 929. Написать уравнение биссектрисы угла $C$ треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-6,~1)$, $B(4,~-3)$ и $C(3,~9)$. Найти площадь $\triangle ABC$. Указание. Найдите сперва стороны треугольника.
Ответ: $5x-2y+3=0$; $58$
27. 930. В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-7,~-1)$, $B(-3,~7)$, $C(7,~-3)$ проведены медианы $AK$ и $BM$. Написать уравнения прямых, на которых лежат эти медианы, и найти угол между ними. Найти точку пересечения медиан треугольника.
Ответ: $AK$: $x-3y+4=0$, $BM$: $3x+y+2=0$; $90^{\circ}$; $(-1,~1)$
28. 931. На оси ординат найти точку $M$, равноудаленную от точек $A(-2,~-1)$ и $B(4,~1)$.
Решение. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является срединный перпендикуляр отрезка $AB$. Задача сводится к тому, чтобы написать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ перпендикулярно прямой $AB$, и найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
Координаты точки $O$ (середины отрезка $AB$) равны $$O\left(\frac{-2+4}{2},~\frac{-1+1}{2}\right)=O(1,~0).$$
Нормальным вектором для срединного перпендикуляра может служить любой вектор, коллинеарный вектору $\overline{AB}=(4-(-2), 1-(-1))=\overline{(6,~2)}$. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку $O(1,~0)$ с нормальным вектором $\vec n=(3,~1)$: $3(x-1)+(y-0)=0 \Leftrightarrow y=3-3x$. Осталось положить в этом уравнении $x=0$, чтобы найти координаты точки пересечения данной прямой с осью ординат. Закончите решение самостоятельно.
Ответ: $M(0,~3)$
29. 932. Дан треугольник с вершинами в точках $A(-3,~1)$, $B(6,~-2)$ и $C(5,~5)$. Найти координаты точки пересечения срединных перпендикуляров треугольника. Написать уравнение окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$.
Ответ: $O(2,~1)$; $(x-2)^2+(y-1)^2=25$
30. 933. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ проведена медиана $CK$. Координаты вершин: $A(-3,~-1)$, $B(5,~1)$. Найти координаты вершины $C$, если $AC=BC=\sqrt{85}$.
Решение. Найдем координаты точки $K$ (середины стороны $AB$): $K(1,~0)$. Так как медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является и высотой, то $CK\perp AB$ и вектор $\overline{AB}=(8,~2)\parallel\overline{(4,~1)}$ может служить нормальным вектором для прямой $CK$. Запишем общее уравнение прямой $CK$, проходящей через точку $K(1,~0)$ с нормальным вектором $\vec n=(4,~1)$: $4(x-1)+y=0 \Leftrightarrow y=4-4x$. Точка $C$ лежит на прямой $CK$, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Будем искать координаты точки $C$ в виде $C(x, 4-4x)$. По условию задачи $AC^2=85$. Составим соответствующее уравнение: $$(x-(-3))^2+(4-4x-(-1))^2=85,$$ решив которое, получим абсциссу точки $C$ (возможно два решения: положение точки $C$ над стороной $AB$ и под ней). Закончите решение задачи самостоятельно.
Ответ: $C(-1,~8)$ или $C(3,~-8)$