1. 967. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=\cos2x+2\sin x-4\cos x-2x$ на отрезке $[0,\pi]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[0,\pi]}f(x)=f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{9+12\sqrt3-10\pi}{6}$, $\displaystyle\min_{[0,\pi]}f(x)=f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{9-12\sqrt3-2\pi}{6}$.
2. 968. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=\cos2x-2\sin x-4\cos x+2x$ на отрезке $[-\pi,0]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[-\pi,0]}f(x)=f\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{9+12\sqrt3-10\pi}{6}$, $\displaystyle\min_{[-\pi,0]}f(x)=f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{9-12\sqrt3-2\pi}{6}$.
3. 969. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=\cos2x+4\sin x-2\cos x-2x$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}f(x)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12\sqrt3-9-4\pi}{6}$, $\displaystyle\min_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}f(x)=f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4\pi-12\sqrt3-9}{6}$.
4. 970. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=\cos2x-4\sin x+2\cos x-2x$ на отрезке $[0,\pi]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Ответ: $\displaystyle\max_{[0,\pi]}f(x)=f(0)=3$, $\displaystyle\min_{[0,\pi]}f(x)=f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{8\pi+12\sqrt3+9}{6}$.
5. 971. Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{24}{\sqrt{61}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ: $\sqrt5$
6. 972. Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{53}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ: $3\sqrt5$
7. 973. Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{13}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ: $2\sqrt5$
8. 974. Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=6$ и $BD=12$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{6}{\sqrt{17}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ: $\sqrt5$
9. 975. В треугольнике с вершинами в точках $A(1,-6)$, $B(5,2)$ и $C(-1,5)$ найти координаты центров вписанной и описанной окружностей, а также расстояние между ними.
Ответ: Центр вписанной окружности $I(2;~1)$; центр описанной окружности $O(0;~-0{,}5)$. Расстояние $|OI=2{,}5|$
10. 976. В трапеции $ABCD$ меньшая боковая сторона $AD=8$ перпендикулярна основаниям $AB=9$ и $CD=5$. На большем основании взята точка $M$ так, что $AM:MB=2:7$, на большей боковой стороне взята точка $K$ так, что $BK:CK=1:3$. Доказать, что $AK\perp DM$.
11. 977. На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:2$, а на стороне $CD=2\cdot BC$ взята точка $K$ так, что $CK:KD=5:1$. Доказать, что $AK \perp DM$.
12. 978. В прямоугольнике $ABCD$ задано отношение сторон: $AB:AD=4:3$. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:CM=1:2$. На стороне $CD$ взята точка $K$ так, что $DK:CK=3:5$. Докажите, что $AK\perp DM$.
13. 979. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x+1}{1-x}$. Указать множество значений функции $f(x)$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{2x^2-x+1}{1-x}=a$$ не имеет решений.
Ответ: $E(f)=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty)$. Не имеет решений при $a\in(-7,1)$.
14. 980. Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$. Исследовать количество корней уравнения $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}=a$ в зависимости от значений параметра $a$.
Ответ: При $a\in(-\infty,0)\cup[1,+\infty)$ уравнение не имеет корней; при $a=0$ уравнение имеет один корень, при $a\in(0,1)$ уравнение имеет два корня.
15. 981. 1. Исследовать функции и построить их графики:
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
Ответ: 2. $a\in(-1,1)$
16. 982. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}$.
17. 983. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{x^2+x+2}{2x-2}$. Для каждого значения параметра $a$ найти количество корней уравнения $$\displaystyle \frac{x^2+x+2}{2x-2}=a.$$
Ответ: При $a\in(-\infty,-1/2)\cup(7/2,+\infty)$ уравнение имеет два корня, при $a\in\{-1/2,7/2\}$ — один корень, при $a\in[1/2,7/2]$ корней нет.
18. 984. а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x-2$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x-2=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot2^x-2=a$ имеет хотя бы один корень.
Ответ: б) $a\in(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)$ в) $a\geqslant-4$.
19. 985. а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x^2+4=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot4^x+4=a$ имеет хотя бы один корень.
Ответ: б) $a\in(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$ в) $a\geqslant0$.
20. 986. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{x^2-4x+19}{x-3}$.
21. 987. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{x^2+6x+24}{x+2}$.
22. 988. а) Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить график: $\displaystyle y=\frac{x^3}{x^3+1}$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{\sin^3x}{\sin^3x+1}=a$ имеет хотя бы одно решение.
Ответ: б) $a\leqslant1/2$
23. 989. а) Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить график: $\displaystyle y=\frac{x^3}{x^3-1}$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{\sin^3x}{\sin^3x-1}=a$ имеет хотя бы одно решение.
Ответ: б) $a\leqslant1/2$.
24. 990. Найти координаты точки $M$, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек $A(1,~-4,~7)$ и $B(5,~6,~-5)$.
Ответ: $M(0,~1,~0)$
25. 991. Найти длину медианы $AD$ треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~-2,~4)$, $B(-4,~2,~3)$, $C(2,~-4,~1)$.
Ответ: 3
26. 992. Найти скалярное произведение $\overline{AB}\cdot\overline{AC}$, где $A$, $B$, $C$ — вершины равнобедренного треугольника, в котором $AB=BC$ и $AC=4$.
Ответ: 8
27. 993. Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec a=(2\alpha,~-5\alpha,~3)$ и $\vec b=(3\alpha,~\alpha+1,~2)$ ортогональны.
Ответ: $\{2,~3\}$
28. 994. Найти величину угла $\angle A$ в треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~4,~1)$, $B(2,~5,~-3)$, $C(-1,~-4,~3)$.
Ответ: 120°
29. 995. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec a=(-4,~1,~1)$ и $\vec b=(-6,~1,~2)$.
Ответ: 3
30. 996. Охарактеризуйте взаимное положение прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{5}$ и плоскости $2x+y-2z=5$.
Решение. Направляющий вектор прямой $\vec l=(3,~4,~5)$ и нормальный вектор плоскости $\vec n=(2,~1,~-2)$ ортогональны, так как их скалярное произведение равно $\vec l \vec n=3\cdot2+4\cdot1+5\cdot(-2)=0$. Следовательно, прямая параллельная плоскости.
Ответ: Прямая параллельна плоскости