1. 979. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x+1}{1-x}$. Указать множество значений функции $f(x)$. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{2x^2-x+1}{1-x}=a$$ не имеет решений.

Ответ: $E(f)=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty)$. Не имеет решений при $a\in(-7,1)$.

2. 980. Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить её график: $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$. Исследовать количество корней уравнения $\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}=a$ в зависимости от значений параметра $a$.

Ответ: При $a\in(-\infty,0)\cup[1,+\infty)$ уравнение не имеет корней; при $a=0$ уравнение имеет один корень, при $a\in(0,1)$ уравнение имеет два корня.

3. 981. 1. Исследовать функции и построить их графики:
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.

Ответ: 2. $a\in(-1,1)$

4. 983. Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=\frac{x^2+x+2}{2x-2}$. Для каждого значения параметра $a$ найти количество корней уравнения $$\displaystyle \frac{x^2+x+2}{2x-2}=a.$$

Ответ: При $a\in(-\infty,-1/2)\cup(7/2,+\infty)$ уравнение имеет два корня, при $a\in\{-1/2,7/2\}$ — один корень, при $a\in[1/2,7/2]$ корней нет.

5. 984. а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x-2$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x-2=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot2^x-2=a$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: б) $a\in(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)$ в) $a\geqslant-4$.

6. 985. а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x^2+4=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot4^x+4=a$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: б) $a\in(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$ в) $a\geqslant0$.

7. 988. а) Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить график: $\displaystyle y=\frac{x^3}{x^3+1}$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{\sin^3x}{\sin^3x+1}=a$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: б) $a\leqslant1/2$

8. 989. а) Исследовать функцию (включая исследование на точки перегиба) и построить график: $\displaystyle y=\frac{x^3}{x^3-1}$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\displaystyle \frac{\sin^3x}{\sin^3x-1}=a$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: б) $a\leqslant1/2$.