1. 9. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}$
Решение. Разложив знаменатель на множители, получим: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\frac{(5x-9)\,dx}{(x+3)(x-5)}$.
Будем искать разложение подынтегральной функции на простейшие дроби в виде $\displaystyle\frac{5x-9}{(x+3)(x-5)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+3)}{(x+3)(x-5)}=\frac{Ax-5A+Bx+3B}{(x+3)(x-5)}=\frac{(A+B)x-(5A-3B)}{(x+3)(x-5)}$, то есть $A+B=5$ и $5A-3B=9$, откуда $A=3$ и $B=2$.
Окончательно имеем: $\displaystyle\int\frac{(5x-9)\,dx}{x^2-2x-15}=\int\left(\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x-5}\right)=3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C.$
Ответ: $3\ln|x+3|+2\ln|x-5|+C$
2. 10. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{5x+22}{x^2+9x+20}dx$.
Ответ: $3\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x+4\right|$
3. 11. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{6x-2}{x^2+2x-15}dx$.
Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+2\,\log \left|x-3\right|$
4. 12. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{2x+14}{x^2-2x-3}dx$.
Ответ: $5\,\log \left|x-3\right|-3\,\log \left|x+1\right|$
5. 13. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{7x+17}{x^2+5x+6}dx$.
Ответ: $4\,\log \left|x+3\right|+3\,\log \left|x+2\right|$
6. 14. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{9x+13}{x^2+2x-15}dx$.
Ответ: $4\,\log \left|x+5\right|+5\,\log \left|x-3\right|$
7. 15. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{13x+10}{x^2+x-12}dx$.
Ответ: $6\,\log \left|x+4\right|+7\,\log \left|x-3\right|$
8. 1202. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{x^5+2x^4-x^3+x+3}{x^3+2x^2-x-2}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle \frac13x^3+3\ln|x+2|-2\ln|x+1|+\ln|x-1|+C$.
9. 1203. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{x^4+x^3-7x^2-3x-2}{x^3+x^2-4x-4}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle\frac12x^2-4\ln|x+2|+2\ln|x+1|-\ln|x-2|+C$.
10. 1204. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{3x^2-7x+1}{x^3-3x+2}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle 3\ln|x+2|+\frac{1}{x-1}+C$.
11. 1205. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{x^2+4x-3}{x^3-3x-2}\,dx$
Ответ: $\displaystyle \ln|x-2|-\frac{2}{x+1}+C$.
12. 1206. Найти интеграл: $\displaystyle \int\frac{3x^2-x}{x^3-x^2+x-1}\,dx$.
Ответ: $\ln(x^2+1)+\text{arctg}\,x+\ln|x-1|+C$.
13. 1207. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{4x^2+2x+13}{x^3+x^2+4x+4}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle\frac12\text{arctg}\,\frac{x}{2}+3\ln|x+1|+\frac12\ln(x^2+4)+C$
14. 1208. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{3x^2-5x+3}{x^3-3x^2+4x-2}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle \ln|x-1|+\ln(x^2-2x+2)+\text{arctg}\,(x-1)+C$.
15. 1209. Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{x^2-x-8}{x^3+x^2+3x-5}\,dx$.
Ответ: $\displaystyle \ln(x^2+2x+5)+\frac12\text{arctg}\,\frac{x+1}{2}-\ln|x-1|+C$.
16. 1284. Найти $\displaystyle\int\frac{4x^2+2x+1}{4x^3+x}\,dx$.
Ответ: $\arctg2x+\ln|x|+C$