Задача
№ 10767
Сфера, касающаяся рёбер или граней многогранника
Ур. 6
Олимпиада «Физтех», 11 класс, заключительный этап, 2018, вариант 2, задача 7
На ребре $BC$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбрана точка $M$. Сфера, построенная на отрезке $C_1M$ как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре $B_1B$. Известно, что $BM=1$, $CM=8$. Найдите длину ребра $AA_1$, радиус сферы и объём параллелепипеда.
Ответ:
Решение: