№ 11816

В $2022$ году исполняется $65$ лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.