№ 13049

Имитировать случайные процессы человеку трудно. Даже серию бросаний монеты придумать «из головы» почти невозможно. Одна из причин в том, что в длинной серии человек подсознательно старается не допустить «слишком много» орлов или решек подряд. В действительно случайной серии, как правило, встречаются довольно длинные группы, состоящие только из орлов или только из решек. Например, при 100 бросаниях монеты, скорее всего (с вероятностью около 0,54), встретятся 7 орлов или 7 решек подряд, а математическое ожидание наибольшей длины такой группы равно приблизительно 6,98.
Если монета $k$ раз подряд выпала одной и той же стороной вверх, будем называть такую подпоследовательность группой длины $k$.
Например, в последовательности ОРРРООРР четыре группы, длины которых равны 1, 3, 2 и 2.
Обозначим $p_{n,k}$ вероятность того, что в серии из $n$ бросаний симметричной монеты содержится группа длины $k$ или больше ($k\lt n$). Выведите рекуррентную формулу $$p_{n,k}=p_{n-1,k}-\frac{1}{2^k}\,p_{n-k,k}+\frac{1}{2^k}.$$