Задача
№ 14493
Формула включений-исключений, подсчёт двумя способами
Ур. 3
Всероссийская олимпиада школьников по математике, 5 класс, школьный этап 2021/22 уч. г. (Москва), задача 8
Внутри большого треугольника периметра 120 провели несколько отрезков, которые разделили его на девять меньших треугольников, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны между собой. Чему они могут быть равны? Укажите все возможные варианты. Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
Ответ:
Решение: