№ 15072

Дана бесконечная последовательность чисел $a_1$, $a_2$, …, в которой нет двух равных членов. Отрезок $a_i$, $a_{i+1}$, …, $a_{i+m-1}$ этой последовательности назовём монотонным отрезком длины $m$, если выполнены неравенства $a_i\lt a_{i+1}\lt \ldots\lt a_{i+m-1}$ или неравенства $a_i\gt a_{i+1}\gt \ldots\gt a_{i+m-1}$. Оказалось, что для каждого натурального $k$ член $a_k$ содержится в некотором монотонном отрезке длины $k+1$. Докажите, что существует натуральное $N$ такое, что последовательность $a_N$, $a_{N+1}$, … монотонна, т. е. $a_N\lt a_{N+1}\lt \ldots$ или $a_N\gt a_{N+1}\gt \ldots$