№ 15489

Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ задана условиями $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{[\sqrt{n}]}$ при всех натуральных $n\geqslant 1$. Докажите, что для каждого натурального $k$ в этой последовательности найдётся член, делящийся на $k$. (Как обычно, $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)