№ 15559

Пусть $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k$, большие 1, таковы, что каждое из чисел $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, $p_{100}p_1^3$ равно произведению каких-то двух из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$. Докажите, что $k\geqslant150$.