Задача № 7338
Математическое ожидание, дисперсия
Условие задачи
Непрерывная случайная величина $X$ задана своей функцией распределения:
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{1}{8} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{8}(2x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{8}(3x^2-18x+19), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
<i>а</i>) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.<br>
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.<br>
<i>б</i>) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$<br>
<i>в</i>) Вычислить математическое ожидание и<br>
<i>г</i>) дисперсию случайной величины.
$$F(x)=\left\{\begin{aligned}
& 0, \quad\text{если}~x < 0; \\
& \frac{1}{8} x^2, \quad\text{если}~0\leqslant x < 1; \\
& \frac{1}{8}(2x^2-2x+1), \quad\text{если}~1\leqslant x < 2; \\
& -\frac{1}{8}(3x^2-18x+19), \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\
& 1, \quad\text{если}~x\geqslant3.
\end{aligned}\right.$$
<i>а</i>) Найти выражение для плотности распределения $f(x)$ и построить график плотности распределения.<br>
Проверьте себя: убедитесь, что найденная вами функция $f(x)$ непрерывная, а площадь под её графиком (два треугольника и трапеция) равна 1.<br>
<i>б</i>) Вычислить вероятность $P\{0{,}5 \leqslant X \leqslant 2{,}5\}$<br>
<i>в</i>) Вычислить математическое ожидание и<br>
<i>г</i>) дисперсию случайной величины.