№ 9565

Назовем тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0=0$, $a_1=1$ и при $n\gt 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0, a_1, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023}\leqslant 100\,000$.