Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^3-11x^2+ax-8=0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
Даны $2014$ положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати пяти из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$, если $AE=7$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с отношением сторон $AB:AC=5:4$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Найдите длину отрезка $AL$, если длина вектора $4\cdot\overrightarrow{AB}+5\cdot\overrightarrow{AC}$ равна $2016$.
Ответ:
Решение:
Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей $CE$ и $DF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $3$. Точка $K$ такова, что $\overrightarrow{LK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Определите, лежит ли точка $K$ внутри, на границе или вне $ABCDEF$, а также найдите длину отрезка $KC$.
Ответ:
Решение:
Векторы $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec a_4$, расположенные в одной плоскости с вектором $\vec b$, имеют равную длину, отличную от длины вектора $\vec b$. Известно, что $\vec a_2+\vec b-2\vec a_1=8\vec a_4+\vec b-9\vec a_3=\vec 0$, $|\vec a_3-\vec b|=8$. Найдите $|\vec a_1-\vec b|$.
Ответ:
Решение:
Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $11$ членов прогрессии равна $6$, а сумма обратных величин этих членов равна $24$. Найдите шестой член прогрессии.
Ответ:
Решение:
Третий, четвёртый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
В конус вписан цилиндр объёма $21$. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом $91$. Найдите объём исходного конуса.
Ответ:
Решение:
Длина медианы $AD$ треугольника $ABC$ равна $3$, длины сторон $AB$ и $AC$ — $5$ и $7$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AC=42$. Биссектриса $CL$ делится точкой пересечения биссектрис треугольника в отношении $2:1$, считая от вершины. Найдите длину стороны $AB$, если радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $14$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) медиана $AM$ пересекает биссектрису $BN$ в точке $K$. Известно, что $BK=3$, $KN=2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника $ABC$ с описанной вокруг $ABC$ окружностью. Окружность, вписанная в треугольник $A_1B_1C_1$, касается одной из сторон $ABC$, а один из углов треугольника $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите два других угла треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Коробка конфет имеет форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания $10$ и высотой $5\sqrt{3}$. Из двух разных вершин коробки $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ одновременно с одной и той же скоростью начинают двигаться две мухи, меняя направление движения только в вершинах. Одна муха начинает движение в вершине $A$ и двигается только по рёбрам призмы, другая — только по диагоналям оснований и боковых граней. Через некоторое время мухи встречаются. В каких вершинах коробки может произойти встреча?
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$ и $K$ расположены на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ так, что $AM:AA_1=1:2$, $BN:BB_1=1:3$, $CK:CC_1=1:4$. Точка $P$ принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объёма пирамиды $MNKP$, если объём призмы равен $16$.
Ответ:
Решение:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ повёрнут на $90^\circ$ вокруг прямой, проходящей через середины противоположных рёбер $AD$ и $B_1C_1$. Найдите объём общей части исходного куба и повёрнутого.
Ответ:
Решение:
Тетраэдр с ребром $1$ повернули на $90^\circ$ относительно прямой, соединяющей середины противоположных рёбер. Найдите объём общей части нового и исходного тетраэдров.
Ответ:
Решение:
Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в $2$ раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не большем $1$ см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз?
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а высота — $a/2$. Найдите объём тела, ограниченного поверхностью этой пирамиды и сферами радиуса $a/3$ с центрами в вершинах основания этой пирамиды.
Ответ:
Решение: