Поиск задач

В белой таблице размером $100\times100$ клеток окрашено в красный цвет $N$ ($N\gt 0$) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Чему может быть равно $N$?

При каком наименьшем $k$ на числовой прямой можно отметить $k$ точек таким образом, чтобы для каждого натурального числа $n$ от 1 до 100 нашлись две отмеченные точки, расстояние между которыми равно $2^n$?

Вершина $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) лежит на основании $AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$.

Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.

Дано натуральное число $n$. $n$-Операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших 1, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$?