Поиск задач

В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город $A$ доступен для города $B$, если из $B$ можно долететь в $A$, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов $P$ и $Q$ существует город $R$, для которого и $P$, и $Q$ доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что из города можно долететь до него самого.)

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения $a^3$, $b^3$ и $c^3$?

Каждая клетка доски $100\times100$ окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски — чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата $2\times2$. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат $2\times2$, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, $\ldots$, 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъёмностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Могут ли все гномы переправиться на правый берег?

Неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$, вписан в окружность $\Omega$. На биссектрисе угла $BAC$ выбрана точка $A'$, а на биссектрисе угла $ABC$ — точка $B'$ так, что $AB'\parallel BC$ и $BA'\parallel AC$. Прямая $A'B'$ пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что треугольник $CDE$ равнобедренный.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ и вторично пересекает сторону $AB$ и диагональ $BD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Касательная, проведенная к окружности $\omega$ в точке $C$, пересекает луч $AD$ в точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.

На доске написаны $n\gt 3$ различных натуральных чисел, меньших, чем \[(n-1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1).\] Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил $100=14\cdot7+2$ и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.