Поиск задач

Есть некоторое количество одинаковых целлофановых пакетов, которые можно вкладывать друг в друга. Если внутри одного из пакетов оказались все остальные пакеты, назовём такую ситуацию «пакетом пакетов». Посчитайте, сколькими способами можно сложить «пакет пакетов» из 10 пакетов.
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).

Найдите количество натуральных чисел, не превышающих 2022 и не входящих ни в арифметическую прогрессию $1, 3, 5, \ldots$, ни в арифметическую прогрессию $1, 4, 7, \ldots$

Найдите три последние цифры числа $10^{2022}-9^{2022}$.

Точка $A$ на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=-3x^2+2$ и $x=-4y^2+2$. Найдите это расстояние.

На гранях шестигранного игрального кубика расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Кубик бросают, и он падает на стол. После этого видны числа на всех гранях, кроме одной. Числа на пяти видимых гранях перемножаются. Найдите вероятность того, что это произведение делится на 16.

Найдите все значения $x$, при каждом из которых среднее из трёх чисел\[a=x^3-100x,\quad b=x^4-16,\quad c=x+20-x^2\]положительно (средним из трёх данных чисел $a$, $b$, $c$ называется число $v$ в тройке $u\leqslant v\leqslant w$, получаемой в результате упорядочения данных чисел по нестрогому возрастанию).

Семейство Дурслей скрывает Гарри Поттера на острове, который находится на расстоянии 9 км от берега. Берег прямолинейный. На берегу, в 15 километрах от той точки берега, которая ближе всего к острову, находится Хагрид на волшебном мотоцикле, и он хочет добраться до Гарри как можно быстрее. По побережью мотоцикл едет со скоростью 50 км/час, а над морем летит со скоростью 40 км/час. План у Хагрида такой: сначала проехать $X$ километров по побережью, а потом взять курс напрямик на остров. Какое значение $X$ наилучшим образом подходит для целей Хагрида?