Поиск задач

Осенью Ольга Павловна сварила варенье в огромной кастрюле. Соседка Ольги Павловны Мария Петровна сделала то же самое. И кастрюля у неё даже больше, чем у Ольги Павловны. Варенье Ольга Павловна разливала по литровым банкам до тех пор, пока в кастрюле не осталось меньше литра. И Мария Петровна сделала то же самое. Какова вероятность того, что если Мария Петровна и Ольга Павловна сольют остатки своего варенья вместе, то они смогут заполнить ещё одну литровую банку, а на полуторалитровую банку им варенья не хватит?

А. и Б. играют в орлянку, бросая монету 100 раз. Если выпадет орёл, то игрок Б. отдаёт рубль игроку А., а если решка, то игрок А. отдаёт рубль игроку Б. Монета несимметричная, поэтому А. имеет преимущество: математическое ожидание его выигрыша при 100 бросках равно 8 рублям. Известно, что в первый раз выпала решка. Найдите математическое ожидание выигрыша игрока А. при этом условии.

В День города в парке всем посетителям раздавали леденцы — жёлтые и красные. Сначала в коробке у волонтёра было 800 жёлтых леденцов и 1200 красных. Каждому желающему волонтёр даёт один или два случайно выбранных леденца. В какой-то момент леденцы одного из цветов закончились. Какова вероятность того, что все оставшиеся в коробке леденцы красные?

В группе 8 российских туристов. Трое из них говорят по-английски, а двое других — по-испански. Остальные говорят только по-русски. Группу случайным образом разбивают на две подгруппы по 4 человека в каждой. С какой вероятностью в каждой подгруппе найдётся кто-нибудь, кто говорит по-английски, и кто-нибудь, кто говорит по-испански?

Во время диспансеризации медсестра измерила рост всех восьмиклассников и составила гистограмму (диаграмму частот значений). На горизонтальной оси отмечается рост в сантиметрах, а на вертикальной — доля восьмиклассников, имеющих такой рост.

а) Найдите цену деления на вертикальной оси.
б) Найдите медиану роста восьмиклассников.

Приведите пример числового набора, у которого медиана равна 3, среднее арифметическое равно 5, а мода равна 6.
Модой числового набора называется число, которое встречается в наборе большее число раз, чем любое другое число. Например, в наборе 1, 2, 2, 2, 3, 3 модой является число 2.

В летнем математическом лагере много школьников. Вероятность того, что двое случайно выбранных школьников уже знакомы, равна $p$ (независимо от того, с кем ещё они знакомы). Какова вероятность того, что четверых случайно выбранных школьников удастся поселить в две комнаты по двое так, чтобы в обеих комнатах школьники были знакомы, а любые двое из двух разных комнат — нет?

В небольшом городе с населением менее 10 000 человек по заказу ветеринарной службы было опрошено более трёх тысяч респондентов. Им предлагались два вопроса: «Есть ли у вас дома кошка?» и «Есть ли у вас дома собака?». Для обработки собранные данные были переданы Рассеянному Учёному, который после изучения результатов воскликнул:
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «Дома живёт кошка» и «Дома живёт собака», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав: эти события действительно оказались независимы. Рассеянный Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.

	Есть собака	Нет собаки
Есть кошка	765	1110
Нет кошки	978	121

Оцените (найдите примерно) общее количество участников опроса. Объясните свои рассуждения.

У плиточника $n$ одинаковых плиток размером $1\times 2$ фута. Он должен выложить дорожку шириной 2 фута и длиной $n$ футов. Докажите, что количество различных способов укладки дорожки равно $(n+1)$-му числу Фибоначчи. Способы считаются различными, если они отличаются порядком укладки плиток вдоль и поперёк дорожки; на рисунке показан один из возможных способов выложить дорожку длиной 5 футов.

Два первых числа Фибоначчи равны единице: $f_1=1$, $f_2=1$, а далее каждое число равно сумме двух предыдущих: $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$.