Поиск задач

Дана доска $5\times5$, в каждой из $25$ клеточек которой стоит либо $0$, либо $1$. Никакие $3$ единицы не могут стоять в подряд идущих клетках по горизонтали, по вертикали или по диагонали. Какое наибольшее число единиц может быть на доске?

Назовем словом размах разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе чисел $(x_1,\ldots,x_n)$. Например, размах набора $(4,1,7,1,3)$ равен $6$ (разность $7$ и $1$).
Дан набор $2025$ чисел $(x_1,\ldots,x_{2025})$ c размахом $1$. Найдите наибольший возможный размах у набора чисел $(y_1,\ldots,y_{2025})$, где \[ y_1=x_1,\quad y_2=\dfrac{x_1+x_2}{2},\quad y_3=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\quad\ldots,\quad y_{2025}=\dfrac{x_1+\ldots+x_{2025}}{2025}. \]

При каких положительных значениях $a$ и $b$ достигается наибольшее значение выражения \[ \dfrac{ab}{(1+a)(a+b)(b+8)}? \]

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, $2025$ год — замечательный, поскольку $2025$ делится на $20+25=45$. Назовите ближайший следующий замечательный год?

Квадрат $ABCD$ со стороной $9$ и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.

У канала шириной $20$ метров от берега $А$ до середины вода течёт со скоростью $1$ м/сек, а после середины до берега $Б$ скорость течения удваивается. На берегу $А$ у воды сидит Гидра. Напротив, на расстоянии $7$ метров от берега $Б$, сидит её подруга Выдра. Они одновременно бросаются навстречу друг другу — Гидра со скоростью $1$ м/сек, а Выдра со скоростью $V$ (и на суше, и в воде). Они обе держат путь перпендикулярно каналу, но вода, конечно, будет сносить их в сторону. Найдите скорость $V$, при которой встреча подруг произойдет как можно ближе к середине канала.