Поиск задач

Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\left(x^2-4x+5-a\right)(x-a+1)}{\sqrt{9-x}}\gt 0,\\ \log_{\frac{x^2-4x}{5}}a\leqslant1. \end{cases} \]

Высота $BH$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $D$ и $E$, пересекаются в точке $F$. Прямая $BF$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите отношение $AK:KC$ и длины отрезков $DF$ и $BK$, если $BH=12$, $AD=\dfrac{25}{13}$, $CE=\dfrac{27}{5}$.

Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приёма сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек. В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R=24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведённой внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d=3$ км от центра окружности. В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r$. Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.

В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона нижнего основания $ABCD$ равна 24, верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна 12, высота пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $24\sqrt{\dfrac{2}{5}}$, точка $O$ — центр основания $ABCD$. Поверхность многогранника $\Phi$ состоит из квадрата $ABCD$, боковых граней пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и боковых граней пирамиды $OA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения многогранника $\Phi$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $C_1$ и середину ребра $A_1B_1$.

Карточки с буквами П, О, Т, О, М, С, Т, В, О сложили в строку в случайном порядке. С какой вероятностью найдутся три карточки подряд, образующие слово ТОМ или ПОТ? Ответ запишите в виде несократимой дроби.

Пусть $x=\log_3 5$, $y=\lg 12$. Представьте $\log_2 5$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+$, $-$, $\cdot$, $:$).