Поиск задач

Сколькими способами можно начертить линию \[ x\sin\sqrt{16-x^2-y^2}=0 \] без отрывов и повторов, т. е. не отрывая карандаша и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

Сколько корней имеет уравнение \[ \sqrt[3]{|x|}+10[x]=10x? \] $[x]$ — целая часть числа $x$, т. е. $[x]\in\mathbb{Z}$ и \[ [x]\leqslant x\lt [x]+1. \]

Числа от 100 до 999 выписаны без пробелов. С каким остатком полученное 2700-значное число делится на 7?

Пусть \[ g(x)=\frac{2}{x^2-8x+17}. \] Найдите все возможные значения параметра $a$, при которых неравенство \[ a^2+6a+\frac{727}{145}\leqslant g\left(g^4(x)\right)\leqslant10a^2+29a+2 \] выполняется при всех действительных $x$. В ответ запишите разность между наибольшим и наименьшим возможными значениями параметра $a$.

Укажите наибольшее значение параметра $p$, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение \[ 2\cos\left(2\pi-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right)-3=p-2\sin\left(-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right). \]

Дана правильная четырёхугольная пирамида $TABCD$ с основанием $ABCD$, причём $AB=9/2$. На её высоте $TO$ выбрана точка $T_1$ так, что $TT_1=TO/3$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ делят отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$, соответственно, в отношении $1:2$, считая от точки $O$. Найдите площадь сечения пирамиды $T_1A_1B_1C_1D_1$ плоскостью, параллельной медиане $AK$ боковой грани $TAB$, проходящей через середину ребра $TC$ и точку $F$ отрезка $TA$ такую, что $AF:FT=1:2$, если известно, что расстояние от точки $C$ до этой плоскости сечения равно $4\sqrt{2/13}$. Результат округлите до сотых по правилам округления.

Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению \[ |y-x|=(y+x+1)(5-x-y), \] а стороны параллельны прямым $y=x$ и $y=-x$? В ответ запишите квадрат значения найденной площади.

Медиана $BD$ треугольника $ABC$ равна $\sqrt{785}$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $AB$. На этой прямой лежит точка $O$, $\angle BOC=90^\circ$. Окружность с центром в точке $O$, проходящая через точку $A$, пересекает прямую $BO$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $OAC$, если $MC=10\sqrt{17}$, тангенс угла $CAB$ равен $7/9$.

По шоссе в одном направлении с постоянной скоростью через равные интервалы времени идут без остановок автобусы. Один человек прошёл по шоссе 4 км, и за это время его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл 7 км и за это время его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов при этом могло его обогнать? (Все три раза человек шел с одной и той же скоростью.) В ответ напишите сумму всех возможных решений.