Поиск задач

На складе находятся товары общей массой 1300 тонн, которые размещены в различные контейнеры. Вес каждого такого контейнера не более 10 тонн. Эти контейнеры грузят в железнодорожные вагоны, вместимость которых не более 60 тонн. Для вывоза товара со склада необходимо сформировать железнодорожный поезд. Какое наименьшее количество вагонов должно быть в этом поезде, чтобы гарантированно вывезти весь товар со склада за один раз? (Размеры контейнеров не учитывать.)

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на стороне $BC$ выбирается точка $N$ так, что окружность, вписанная в треугольник $ACN$, касается стороны $AN$ в точке $K$ и $\angle CDK=18^\circ$, где точка $D$ — середина $AB$. Найдите величину $\angle CAN$.

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ делит пополам сторону $CD$, биссектриса угла $ABC$ пересекает в точке $O$ отрезок $AE$. Найдите площадь четырёхугольника $OBCE$, зная, что $AD=12$, $DE=4$, $\angle ABO=60^\circ$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2a\geqslant 0,\\ x^3-(a+3)x^2+3ax\leqslant 0 \end{cases} \] имеет единственное решение.

На беговой дорожке стадиона длиной 400 м одновременно со старта в одном направлении начали забег два спортсмена на дистанцию 10 км. Каждый из них бежал со своей постоянной скоростью. Первый спортсмен пришел на финиш на 16 мин 40 с раньше второго и через 43 мин 20 с после того, как он второй раз на дистанции (не считая момента старта) обогнал второго спортсмена. Известно, что скорость первого спортсмена больше 100 м/мин. Сколько раз первый спортсмен обогнал второго на дистанции после старта?

Решите неравенство \[ \dfrac{\sqrt{1+x}-2}{1-\sqrt{x+2}}\geqslant 1+\sqrt{x+2}. \]