Поиск задач

Функция $f(x)$ при всех действительных $x\ne1$ удовлетворяет соотношению \[ (x-1)f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+4f(x)+14x=0. \] Решите уравнение $4\cdot8^x=7+2^{f(x)}$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} 7a-30\cos t+3\leqslant0,\\ 5\sin t+a+\dfrac12+\dfrac{|\cos t|}{2\cos t}+\dfrac{|5\cos t-4|}{5\cos t-4}=0 \end{cases} \] имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=9\sqrt2/2$, $BK=9$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$, $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$.

Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого верно неравенство \[ \left(1^3+2^3+\ldots+n^3\right)-106(1+2+\ldots+n)+105\leqslant0. \]

Основанием пирамиды $SABC$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=2$ и $BC=6$. Высотой пирамиды $SABC$ является отрезок $SD$, где точка $D$ симметрична точке $B$ относительно середины отрезка $AC$. Точка $M$ принадлежит боковому ребру $SB$, причем $SM=2MB$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через $D$ параллельно гипотенузе основания $AC$ и отрезку $AM$, если расстояние от точки $B$ до секущей плоскости равно $\sqrt{14}$.

Искусственный спутник (ИСЗ) движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Для того, чтобы можно было наблюдать за спутником с поверхности Земли, он должен находиться выше плоскости горизонта. Определите: а) продолжительность наблюдения за спутником (в минутах) от момента его появления над горизонтом до момента захода за горизонт, если траектория ИСЗ проходит ровно над головой наблюдателя; б) плоский угол при вершине конуса обзора поверхности Земли с ИСЗ (в градусах).