Поиск задач

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 700. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} |y-6-x|+|y-6+x|=12,\\ (|x|-8)^2+(|y|-6)^2=a\end{cases} \] имеет ровно два решения.

а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по одну сторону от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.

По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(-2;-2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.

Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_{3000}$, все члены которой положительны, а их сумма равна $S$. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т. е. $b_3, b_6, \ldots, b_{3000}$), увеличить в 50 раз, сумма $S$ увеличится в 10 раз. А как изменится $S$, если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b_2, b_4, \ldots, b_{3000}$), увеличить в 2 раза?

Решите уравнение \[ \left(\dfrac{x}{\sqrt2}+3\sqrt2\right)\sqrt{x^3-4x+80}=x^2+10x+24. \]

Решите неравенство \[ 2x^4+x^2-4x-3x^2|x-2|+4\geqslant 0. \]