Олимпиада им. Леонарда Эйлера

На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: \[1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ 2018.\] Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел?

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ — биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF\parallel AC$. Найдите угол $DEF$.

Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y=ax+b$ (то есть он нарисовал прямые \[\begin{gathered} y=x+2,\quad \ldots,\quad y=x+20,\\ y=2x+1,\quad y=2x+3,\quad \ldots,\quad y=2x+20,\\ y=3x+1,\quad y=3x+2,\quad y=3x+4,\quad \ldots,\quad y=3x+20,\\ \ldots,\\ y=20x+1,\quad \ldots,\quad y=20x+19). \end{gathered}\] Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность?

Квадрат со стороной 100 разрезали на квадраты (не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и меньшими 10. Докажите, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400.

На каждой из пяти карточек написано какое-то число. Карточки лежат на столе числами вниз. Мы можем, заплатив рубль, указать на любые три карточки, и нам сообщат сумму написанных на них чисел. За какую наименьшую цену можно наверняка узнать сумму всех пяти чисел?