Олимпиада «Ломоносов»
9 класс, заключительный этап, 2012
7 задач
Задача 1
В результате проведённого в школе конкурса юных талантов призы получили 58% участников. Довольными итогами конкурса остались 95% участников, причём 60% из них получили призы. Какая часть недовольных участников конкурса получила призы?
Ответ:
Решение:
Задача 2
Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать произведение двух чисел при условии, что их сумма принадлежит отрезку $[4;5]$, а разность — отрезку $[11;12]$?
Ответ:
Решение:
Задача 3
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнения\[x^2+ax+2012=0\quad\text{и}\quad x^2+2012x+a=0\]имеют хотя бы один общий корень.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Найдите величину угла $ACB$, если известно, что $\angle ACD=72^\circ$ и $AB=BD$.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Задача 6
Функция $f(x)$ удовлетворяет при каждом значении $x$ равенству\[f(x+2)=f(x)+4x+4.\]Найдите $f(2012)$, если $f(2)=0$.
Ответ:
Решение:
Задача 7
Найдите периметр выпуклого многоугольника, множество вершин которого в координатной записи совпадает с множеством целочисленных пар решений уравнения\[x^2+xy=x+2y+9.\]
Ответ:
Решение: