Олимпиада «Ломоносов»

В некоторой стране алфавит состоит из трёх букв: «М», «Г» и «У». Словом называется любая состоящая из этих букв конечная последовательность, в которой две согласные не могут стоять рядом и две гласные не могут стоять рядом. Сколько в этой стране состоящих из 200 букв слов, которые содержат каждую из трёх букв хотя бы по разу?

График квадратичной функции $f(x)=x^2+2px-p^2+7p-2015$ пересекает координатные оси в трёх точках $A$, $B$ и $C$. Найдите значение $p$, при котором произведение длин отрезков $OA\cdot OB\cdot OC$ будет наименьшим.

В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$, $BN$ и $CK$. Найдите длину основания $AB$, если известны координаты точек $M(2,2)$ и $N(4,4)$.

Все натуральные числа разбили на «хорошие» и «плохие» по следующим правилам:
1) из любого плохого числа можно вычесть некоторое натуральное число, не превосходящее его половины, так, чтобы получившаяся разность стала «хорошей»;
2) из «хорошего» числа нельзя вычесть не более половины так, чтобы оно осталось «хорошим».
Известно, что число 1 — «хорошее». Найдите ближайшее к 2015 «хорошее» число.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны, а площадь $ACD$ равна половине площади $ABD$. Найдите длину отрезка $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$, если известно, что $AD=12$.

Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1}+3$. Может ли число $a_{2015}-a_{2011}-39$ быть простым?

Найдите все решения системы в натуральных числах:\[\begin{cases}a^3+b=c(a^2+b^2),\\ a+b^3=d(a^2+b^2).\end{cases}\]