Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В числовом наборе 100 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел будет равна 78. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел будет 66. Найдите медиану всего набора.

В городе, где живет Рассеянный Ученый, телефонные номера состоят из 7 цифр. Ученый легко запоминает телефонный номер, если этот номер — палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги $ABCD$. Митя называет сгиб красивым, если сторона $AB$ пересекает сторону $CD$ и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.

40 % приверженцев некоторой политической партии являются женщинами. 70 % приверженцев этой партии — городские жители. При этом 60 % горожан, поддерживающих партию, — мужчины. Являются ли независимыми события «приверженец партии — горожанин» и «приверженец партии — женщина»?

Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика — 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?

Муха ползет из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.

Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.

В числовом наборе $n$ чисел, среди которых есть числа 0 и 1. Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел? Каким для этого должен быть набор?

Знатоки и Телезрители играют в «Что? Где? Когда?» до шести побед — кто первый выиграл шесть раундов, тот и победил в игре. Вероятность выигрыша Знатоков в одном раунде равна 0,6, ничьих не бывает. Сейчас Знатоки проигрывают со счетом $3:4$. Найдите вероятность того, что Знатоки все же выиграют.

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.

Точку $O$, лежащую внутри треугольника $ABC$, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов $AOB$, $AOC$ и $BOC$ меньше, чем
а) $\dfrac{10\pi^2}{27}$;
б) $\dfrac{2\pi^2}{9}$.

У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью $p$ или неверный ответ с вероятностью $q=1-p$.
Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.
Однажды Артур задумался — зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:
— Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если я оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из Вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?
— Кого именно ты собираешься уволить, король Артур? — спросили советники.
— Если я приму решение уволить одного из вас, то сделаю выбор с помощью жребия, бросив монету.
Советники ушли думать над ответом. Советники, повторим, одинаково мудрые, но не одинаково честные. Персифаль очень честен и постарается дать верный ответ, даже если ему грозит увольнение. А Мерлин, честный во всем прочем, в этой ситуации решает дать такой ответ, чтобы вероятность его увольнения была как можно меньше. Какова вероятность того, что Мерлин будет уволен?

На шкуре у Носорога складки — вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку $a$ вертикальных, $b$ горизонтальных складок, а на правом — $c$ вертикальных и $d$ горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии $((a;b);(c;d))$ или просто Носорог $((a;b);(c;d))$.
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз и у Носорога на этом боку найдутся две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух горизонтальных складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично, если Носорог чешется боком вперед-назад и на этом боку найдутся две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдется, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется одна вертикальная складка и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком, о случайные баобабы в случайных направлениях.
Вначале в саванне было стадо Носорогов $((0;2);(2;1))$. Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог $((2;0);(2;1))$.

По свистку учителя физкультуры все ученики, 10 мальчиков и 7 девочек, выстроились в шеренгу в случайном порядке — кто куда успел. Найдите математическое ожидание величины «Число девочек, стоящих левее всех мальчиков».

Илья Муромец встречает трехголового Змея Горыныча и начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. Пусть $x$ — живучесть Змея ($x\gt 0$). Вероятность того, что на месте отрубленной головы вырастет $k$ новых голов ($k=0,\,1,\,2$), равна $$p_k=\dfrac{x^k}{1+x+x^2}.$$
В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получилась следующая последовательность: $$K=(1,\,2,\,2,\,1,\,0,\,2,\,1,\,0,\,1,\,2).$$
Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность последовательности $K$ наибольшая*.
* Описанный метод поиска оценки параметра модели, исходящий из максимума вероятностей осуществившихся событий, является разновидностью метода наибольшего правдоподобия.

Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.

Илья Муромец встречает трехголового Змея Горыныча и начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью $\frac14$ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью $\frac13$ — только одна новая голова и с вероятностью $\frac{5}{12}$ — ни одной головы. Змей считается побежденным, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.