Московская математическая олимпиада

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на $20$, а если первую — то на $21$. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна $0$?

Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.

Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее:

• перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно;
• если в клетке с номером $i$ лежит камень, то можно переложить камень из мешка в клетку с номером $i+1$ или обратно.

Можно ли, действуя по этим правилам, положить камень в клетку с номером $1000$?

Внутри четырёхугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ — биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.

Пусть $p$ и $q$ — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального $d\lt p+q$ найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся на $d$.

Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно $2$.