Московская математическая олимпиада

Что больше: $2011^{2011}+2009^{2009}$ или $2011^{2009}+2009^{2011}$?

В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ угол $A$ равен $30^\circ$. Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $D$ — точка пересечения отрезка $BI$ с этой окружностью. Докажите, что отрезки $AI$ и $CD$ перпендикулярны.

На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. Точки $P$ и $Q$ — центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $BCD$. Докажите, что $\angle PKA=\angle QKD$.

На доске выписано $(n-1)n$ выражений: $x_1-x_2$, $x_1-x_3$, $\ldots$, $x_1-x_n$, $x_2-x_1$, $x_2-x_3$, $\ldots$, $x_2-x_n$, $\ldots$, $x_n-x_{n-1}$, где $n\geqslant 3$. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_3)$ Лёша запишет $x_1-x_3$, а вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_1)$ он запишет $0$). Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?