Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

На путь в гору по маршруту $A$ турист затратил 2 часа, а на путь с горы по маршруту $Б$, который на 18 км длиннее маршрута $A$, — 4 часа. Найдите общую длину пути, пройденного туристом, если каждый километр при спуске турист проходил на 10 минут быстрее, чем при подъёме.

В окружности диаметр $AB$ и хорда $PQ$ пересекаются в точке $C$ под прямым углом. Найдите длины биссектрис треугольника $APQ$, если $PC=5$, $AC:CB=8$.

Найдите суммарную длину отрезков, составляющих решение неравенства \[|2\sin x+3\cos x|+|\sin x-3\cos x|\leqslant 3\sin x\] на отрезке $[0;4\pi]$.

Найдите количество общих точек графиков функций \[y=x^3+6x\quad\text{и}\quad y=12x^2+1,\] а также абсциссы этих точек.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых среди чисел последовательности \[x_n=-n^2+10n+22+\frac{10}{|5n-31|+a}\,,\quad n=1,2,\ldots\] есть ровно два максимальных элемента.