Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Сравните число \[ \sqrt{\left|8\sqrt3-16\right|}-\sqrt{8\sqrt3+16} \] и наименьший корень уравнения $4x^2+21x+17=0$.

Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ пересекаются внешним образом в точках $A$ и $B$ (то есть точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Известно, что $\angle AO_1B=\alpha$, $\angle AO_2B=\beta$, $O_1O_2=a$. Найдите радиусы окружностей.

Найдите корни уравнения \[ \log_2|\mathrm{tg}\,\pi x|+\log_4\dfrac{\cos\pi x}{2\cos\pi x+\sin\pi x}=0, \] принадлежащие отрезку $\left[\dfrac94;3\right]$.

Для перевозки 60 тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки 120 тонн песка оказалось необходимо на 5 рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).

Решите уравнение \[ \left|x\sqrt{1-x^2}+x\right|=\sqrt{1+x^2}. \]